Bài 3 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Kiến thức, kĩ năng

Giải một số bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài toán. Một vật có khối lượng 124 g và thể tích 15 cm³ là hợp kim của đồng và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng 1 cm³ đồng nặng 8,9 g và 1 cm³ kẽm nặng 7 g.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Xét bài toán ở tình huống mở đầu. Gọi x là số gam đồng, y là số gam kẽm cần tính.

HD1 Biểu thị khối lượng của vật qua x và y.

HD2 Biểu thị thể tích của vật qua x và y.

HD3 Giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y nhận được ở HD1 và HD2. Từ đó trả lời câu hỏi ở tình huống mở đầu.

Nhận xét. Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

– Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

– Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Ví dụ 1

Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 1 006, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

Giải

• Gọi hai số cần tìm là $x$ và $y$, trong đó $x < y$. Số dư trong phép chia $y$ cho $x$ là 124 nên $x > 124$. Vậy điều kiện của hai ẩn là $x, y \in \mathbb{N}$ và $124 < x < y$. Tổng hai số bằng 1 006 nên ta có phương trình $x + y = 1\,006$. Khi chia $y$ cho $x$ ta được thương là 2, dư 124 nên ta có phương trình $y = 2x + 124$.

Do đó, ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x + y = 1\,006\quad (1)\\y = 2x + 124.\quad (2)\end{array}\right.$

• Giải hệ phương trình:

Từ (2) thế $y = 2x + 124$ vào (1), ta được $3x + 124 = 1\ 006$ hay $3x = 882$, suy ra $x = 294$.

Từ đó ta được $y = 2\cdot294 + 124 = 712$.

• Các giá trị $x = 294$ và $y = 712$ thoả mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy hai số cần tìm là 294 và 712.

Luyện tập 1

Một chiếc xe khách đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, quãng đường dài 170 km. Sau khi xe khách xuất phát 1 giờ 40 phút, một chiếc xe tải bắt đầu đi từ Cần Thơ về Thành phố Hồ Chí Minh (trên cùng một tuyến đường với xe khách) và gặp xe khách sau đó 40 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 15 km.

Hướng dẫn. Gọi x (km/h) là vận tốc của xe tải và y (km/h) là vận tốc xe khách (x, y > 0). Chú ý rằng hai xe (đi ngược chiều) gặp nhau khi tổng quãng đường hai xe đã đi bằng 170 km.

Ví dụ 2

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất của mỗi đội là không đổi).

Giải

• Gọi x là số ngày để đội I hoàn thành công việc nếu làm một mình; y là số ngày để đội II hoàn thành công việc nếu làm một mình. Điều kiện: x > 0 và y > 0.

Mỗi ngày đội I làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và đội II làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Mỗi ngày đội I làm được nhiều gấp rưỡi đội II nên ta có phương trình $\frac{1}{x} = 1,5 \cdot \frac{1}{y}$ hay $\frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}$. (1)

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày, hai đội làm chung thì được $\frac{1}{24}$ (công việc). Ta có phương trình

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \quad (2)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình (I) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y} \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{24}. \end{array} \right.$

• Nếu đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là $u$ và $v$:

(II)	u = 3/2 v (3)
	u + v = 1/24 (4)

number

Giải hệ (II): Thế $u = \frac{3}{2}v$ vào phương trình (4), ta được $\frac{3}{2}v + v = \frac{1}{24}$, hay $\frac{5}{2}v = \frac{1}{24}$, suy ra $v = \frac{1}{60}$. Do đó $u = \frac{3}{2}v = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{60} = \frac{1}{40}$.

Từ đó, ta có: $u = \frac{1}{x} = \frac{1}{40} \text{ suy ra } x = 40; \quad v = \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \text{ suy ra } y = 60.$

• Các giá trị tìm được của $x$ và $y$ thoả mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Nếu làm một mình thì đội I làm xong đoạn đường đó trong 40 ngày, còn đội II làm xong trong 60 ngày.

Luyện tập 2

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì bể sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút. Nếu mở riêng vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được $\frac{2}{15}$ bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể nước là bao nhiêu phút?

BÀI TẬP

1.15. Tìm số tự nhiên $n$ có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 12, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn $n$ là 36 đơn vị.

1.16. Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm. Kết quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ô bị mờ không đọc được (đánh dấu "?"):

Điểm số của mỗi lần bắn	10	9	8	7	6
Số lần bắn	25	42	?	15	?

Em hãy tìm lại các số bị mờ trong hai ô đó.

1.17. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3 600 tấn thóc. Năm nay, hai đơn vị thu hoạch được 4 095 tấn thóc. Hỏi năm nay, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc, biết rằng năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái? Hãy dùng máy tính cầm tay để kiểm tra lại kết quả thu được.

1.18. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

23

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I

A. TRẮC NGHIỆM

1.19. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}5x + 7y = -1\\3x + 2y = -5\end{array}\right.$ ?

A. $(−1; 1)$. B. $(−3; 2)$. C. $(2; −3)$. D. $(5; 5)$.

1.20. Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1; 2)$, $B(5; 6)$, $C(2; 3)$, $D(-1; -1)$. Đường thẳng $4x - 3y = -1$ đi qua hai điểm nào trong các điểm đã cho? A. $A$ và $B$. B. $B$ và $C$. C. $C$ và $D$. D. $D$ và $A$.

1.21. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1,5x - 0,6y = 0,3\\-2x + y = -2\end{array}\right.$

A. có nghiệm là $(0; -0,5)$. B. có nghiệm là $(1; 0)$. C. có nghiệm là $(-3; -8)$. D. vô nghiệm.

1.22. Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}0,6x + 0,3y = 1,8\\2x + y = -6\end{array}\right.$ A. có một nghiệm. B. vô nghiệm. C. có vô số nghiệm. D. có hai nghiệm.

B. TỰ LUẬN

1.23. Giải các hệ phương trình:

a)	b)	c)
2x + 5y = 10 2/5x + y = 1;	0,2x + 0,1y = 0,3 3x + y = 5;	3/2x - y = 1/2 6x - 4y = 2.

1.24. Giải các hệ phương trình:

a)	0,5x + 2y = -2,5 0,7x - 3y = 8,1;
b)	5x - 3y = -2 14x + 8y = 19;
c)	2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3.

Number

1.25. Tìm số tự nhiên $n$ có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số $n$ thì được một số lớn hơn số $2n$ là 585 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số $n$ theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số $n$ là 18 đơn vị.

1.26. Trên cánh đồng có diện tích 160 ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành 60 ha để cấy thí điểm giống lúa mới, còn lại vẫn cấy giống lúa cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt 8 ha giống lúa cũ và 7 ha giống lúa mới để đối chứng. Kết quả là 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc. Biết rằng tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên 160 ha là 860 tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống lúa trên 1 ha là bao nhiêu tấn thóc?

1.27. Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.

1.28. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

Number

This is a Vietnamese mathematics textbook page introducing Chapter II on 'Equations and First-Degree Inequalities in One Variable' (Phương Trình Và Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn) under the Algebra (Đại Số) section. The page features a balance scale illustration with expressions '3x – 9' on the left pan and 'x + 5' on the right pan, with inequality/equality symbols '>, ≥, < và ≤' shown above. The right side contains a descriptive paragraph about real-life applications of equations and inequalities. The lower portion introduces Lesson 4 (Bài 4) on 'Equations Reducible to First-Degree Equations in One Variable' (Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn), with a two-column table listing key concepts (product equations and equations with variable in denominator) and corresponding skills (solving product equations of the form (ax+b)(cx+d)=0 and solving equations with variable in denominator).

Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m² thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?

The drawing shows a square outer frame with a side length of 15 units. Inside it, there is a smaller square (shown with a green grass texture) centered within the outer frame. The variable 'x' indicates the width of the border/margin between the outer square and the inner square, shown with a double-headed arrow on the right side. The outer frame appears in light gray, and the inner square has a blue border surrounding the green grass-textured area. The border width 'x' is uniform on all sides.

Hình 2.1

number

1 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Phương trình tích HD1 Phân tích đa thức $P(x) = (x + 1)(2x - 1) + (x + 1)x$ thành nhân tử. HD2 Giải phương trình $P(x) = 0$.

Để giải phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$, ta giải hai phương trình $ax + b = 0$ và $cx + d = 0$. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1

Giải phương trình $(2x + 1)(3x - 1) = 0$.

Giải

Ta có $(2x + 1)(3x - 1) = 0$

nên $2x + 1 = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$.

• $2x + 1 = 0$ hay $2x = -1$, suy ra $x = -\frac{1}{2}$.

• $3x - 1 = 0$ hay $3x = 1$, suy ra $x = \frac{1}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -\frac{1}{2}$ và $x = \frac{1}{3}$.

Ví dụ 2 Giải phương trình $x^2 - x = -2x + 2$.

Giải

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau: $x^{2} - x = -2x + 2$ $x^{2} - x + 2x - 2 = 0$ $x(x - 1) + 2(x - 1) = 0$ $(x + 2)(x - 1) = 0$. Ta giải hai phương trình sau: • $x + 2 = 0$, suy ra $x = -2$. • $x - 1 = 0$, suy ra $x = 1$. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = -2$ và $x = 1$.

A small, low-resolution image showing what appears to be an orange or yellow circular shape, possibly a fruit or a simple round object, against a white background. The image is very small and pixelated, making it difficult to determine exact details.

Number

Nhận xét. Trong Ví dụ 2, ta thực hiện việc giải phương trình theo hai bước: Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích $(ax + b)(cx + d) = 0$; Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Luyện tập 1 Giải các phương trình sau:

a) (3x + 1)(2 − 4x) = 0;

b) x² − 3x = 2x − 6.

Vận dụng Giải bài toán ở tình huống mở đầu.

2 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Điều kiện xác định của một phương trình

Xét phương trình $x + \frac{1}{x+1} = -1 + \frac{1}{x+1}$.

HD3 Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.

HD4 Giá trị $x = -1$ có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình đó. Chẳng hạn, đối với phương trình trên, để phương trình xác định thì $x + 1 \neq 0$ hay $x \neq -1$.

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi đó là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a)	5x + 2 / x - 1 = 0;
b)	1 / x + 1 = 1 + 1 / x - 2

Giải

a) Vì $x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{5x + 2}{x - 1} = 0$ là $x \ne 1$.

b) Vì $x + 1 \neq 0$ khi $x \neq -1$ và $x - 2 \neq 0$ khi $x \neq 2$ nên ĐKXĐ của phương trình

$\frac{1}{x+1}=1+\frac{1}{x-2}$ là $x \neq -1$ và $x \neq 2$.

Luyện tập 2 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a)	3x+1 2x-1 =1;
b)	x x-1 + x+1 x =2.

Number

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu HD5 Xét phương trình $\frac{x+3}{x}=\frac{x+9}{x-3}$. (1)

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (1):

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (1);

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), rồi khử mẫu;

c) Giải phương trình vừa tìm được;

d) Kết luận nghiệm của phương trình (1).

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thoả mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4 Giải phương trình $\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x-2}=\frac{3}{(x+1)(x-2)}$. (2)

Giải. Điều kiện xác định $x \neq -1$ và $x \neq 2$.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được $\frac{2(x-2)+(x+1)}{(x+1)(x-2)}=\frac{3}{(x+1)(x-2)}$,

suy ra $2(x-2)+(x+1)=3$. (2a)

Giải phương trình (2a):

$2(x-2)+(x+1)=3$

$2x-4+x+1=3$

$3x-3=3$

$3x=6$

$x=2$.

Giá trị $x=2$ không thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

Luyện tập 3 Giải phương trình $\frac{1}{x-1} - \frac{4x}{x^3-1} = \frac{x}{x^2+x+1}$.

A small square tile or label with a light green background displaying the number 29 in dark gray text.

BÀI TẬP

2.1. Giải các phương trình sau: a) $x(x - 2) = 0$; b) $(2x + 1)(3x - 2) = 0$. 2.2. Giải các phương trình sau: a) $(x^2 - 4) + x(x - 2) = 0$; b) $(2x + 1)^2 - 9x^2 = 0$. 2.3. Giải các phương trình sau: a) $\frac{2}{2x + 1} + \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(2x + 1)(x + 1)}$; b) $\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{3x}{x^3 + 1}$.

2.4. Bác An có một mảnh đất hình chữ nhật với chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bác dự định xây nhà trên mảnh đất đó và dành một phần diện tích đất để làm sân vườn như Hình 2.2. Biết diện tích đất làm nhà là 100 m². Hỏi x bằng bao nhiêu mét?

The drawing shows a floor plan layout consisting of two rectangular areas. The outer rectangle has dimensions 14 (width) by 12 (height). Inside the outer rectangle, there is a smaller inner rectangle labeled 'Nhà' (House). The space between the top of the inner rectangle and the top of the outer rectangle is labeled 'Sân vườn' (Garden). The variable x represents the vertical gap at the top between the outer and inner rectangles. The inner rectangle's width is indicated as (x + 2) less than the outer rectangle's width, shown at the bottom right. The outer boundary is drawn with a blue border, and the inner house area is shaded in light blue.

2.5. Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, x > 0). a) Hãy biểu thị theo x:

– Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;

– Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ.

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Number