Bài 30 ĐA GIÁC ĐỀU

Khái niệm, thuật ngữ:

• Đa giác, đa giác đều
• Đỉnh, cạnh, góc của đa giác
• Phép quay

Kiến thức, kĩ năng:

• Nhận dạng đa giác đều. Nhận biết những hình phẳng đều trong tự nhiên, nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo,...
• Nhận biết vẻ đẹp của thế giới tự nhiên biểu hiện qua tính đều.
• Nhận biết phép quay. Mô tả được các phép quay giữ nguyên hình đa giác đều.

Chúng ta đã biết tam giác đều được tạo bởi ba cạnh bằng nhau, hình vuông được tạo bởi bốn cạnh bằng nhau. Hơn nữa, các góc trong mỗi hình đó bằng nhau. Trong bài này các em sẽ được học về những hình tương tự như vậy nhưng số cạnh có thể nhiều hơn, chúng được gọi chung là các đa giác đều.

1. ĐA GIÁC ĐỀU

Đa giác

– Những hình như Hình 9.38 được gọi chung là các đa giác.

Hình: Bốn hình a) ngũ giác lồi có đỉnh $A$ (trên), $B$ (trái), $C$ (dưới trái), $D$ (dưới phải), $E$ (phải); b) tứ giác lồi; c) tứ giác lõm (không lồi); d) lục giác lồi — Hình 9.38.

– Đa giác $ABCDE$ (H.9.38a) là hình gồm năm đoạn thẳng $AB, BC, CD, DE, EA$, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác $ABCDE$ có năm đỉnh là các điểm $A, B, C, D, E$; năm cạnh là các đoạn thẳng $AB, BC, CD, DE, EA$ và năm góc là các góc $\widehat{EAB}, \widehat{ABC}, \widehat{BCD}, \widehat{CDE}, \widehat{DEA}$.

– Nếu với một cạnh bất kì của đa giác, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình 9.38 a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình 9.38c không phải đa giác lồi.

Đa giác đều

HĐ1 Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:

– Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính $R$.

84

– Lần lượt lấy các điểm $A, B, C, D, E$ trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho: $\widehat{AOB} = \widehat{BOC} = \widehat{COD} = \widehat{DOE} = \widehat{EOA} = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$. Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác $ABCDE$ bằng nhau (H.9.39).

Hình: Một ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ với góc ở tâm $\widehat{AOB} = 72^{\circ}$.

Đa giác $ABCDE$ như Hình 9.39 được gọi là một đa giác đều. Tổng quát, ta có định nghĩa:

Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính 2 cm (H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Hình: Một lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có bán kính $2 \text{ cm}$.

Ví dụ 1

a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41).

Hình: Các hình đa giác đều gồm tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều.

b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiều hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ đẹp vì sự cân đối hài hoà mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng (H.9.42).

Hình: Các hình ảnh thực tế ứng dụng đa giác đều như gạch lát hình vuông, trang trí bằng tam giác đều, mặt bàn hình bát giác đều, mặt đế đinh ốc, hộp đựng bánh kẹo, các lỗ tổ ong.

85

Ví dụ 2

Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều?

Hình: Bốn hình phẳng trên lưới ô vuông: hình a là đa giác không lồi (hình chữ thập), hình b là hình thoi, hình c là bát giác không đều, hình d là hình vuông.

Giải. Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình d có dạng đa giác đều.

Ví dụ 3

Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh 6 cm. Trên cạnh $AB$ lấy các điểm $M, N$; trên cạnh $BC$ lấy các điểm $P, Q$; trên cạnh $CA$ lấy các điểm $E, F$, sao cho các đoạn thẳng $AM, MN, NB, BP, PQ, QC, CE, EF, FA$ đều bằng 2 cm như Hình 9.43. Hỏi $MNPQEF$ có là một lục giác đều hay không?

Hình: Tam giác đều $ABC$ có các điểm $M, N, P, Q, E, F$ chia mỗi cạnh thành 3 đoạn bằng nhau, nối lại tạo thành lục giác $MNPQEF$ bên trong.

Giải (H.9.43).

Theo Hình 9.43, ta thấy $MNPQEF$ là một đa giác lồi.

Ta có $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{1}{3}$. Theo định lí Thalès đảo cho tam giác $ABC$ và đường thẳng $MF$ thì $MF \parallel BC$.

Suy ra $\dfrac{MF}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{3}$. Do đó $MF = \dfrac{BC}{3} = 2$ cm. Tương tự, $NP = QE = 2$ cm.

Vậy lục giác $MNPQEF$ có tất cả các cạnh bằng nhau.

Mặt khác, tam giác $AMF$ là tam giác đều vì $AM = MF = FA = 2$ cm nên $\widehat{FMA} = 60^{\circ}$ và $\widehat{FMN} = 180^{\circ} - \widehat{FMA} = 120^{\circ}$.

Tương tự các góc tại các đỉnh $N, P, Q, E, F$ của lục giác $MNPQEF$ đều bằng nhau và bằng $120^{\circ}$. Vậy lục giác $MNPQEF$ có các cạnh và các góc bằng nhau. Do đó $MNPQEF$ là lục giác đều.

Luyện tập 1

Cho $M, N, P, Q, K$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DE$ và $EA$ của ngũ giác đều $ABCDE$ (H.9.44). Hỏi $MNPQK$ có phải là ngũ giác đều hay không?

Hình: Ngũ giác đều $ABCDE$ có các điểm $M, N, P, Q, K$ là trung điểm các cạnh, nối lại tạo thành ngũ giác $MNPQK$ bên trong.

86

Thử thách nhỏ 1

Cho một bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm $O$ (H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Hình: Một hình tròn có tâm $O$ và một bát giác đều nội tiếp bên trong.

Hình 9.45

2 PHÉP QUAY

Phép quay

HĐ2 Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có dạng hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm $A$ trên bàn xoay có dạng hình tròn với tâm $O$ sao cho điểm $A$ khác điểm $O$. Khi quay bàn xoay thuận chiều quay của kim đồng hồ thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm $B$ (H.9.46).

Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm $A$ và $B$ đến điểm $O$. Hai điểm $A, B$ có cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$ hay không?

Hình: Một đường tròn tâm $O$ với hai điểm $A$ và $B$ nằm trên đường tròn, một mũi tên đứt đoạn chỉ chiều quay từ $A$ đến $B$ theo chiều kim đồng hồ.

Hình 9.46

HĐ3 Trên bàn xoay tâm $O$, vẽ tam giác đều $ABC$ nội tiếp một đường tròn $(O)$ và hai tia $OA, OB$ (H.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều quay của kim đồng hồ để tia $OA$ di chuyển trùng với tia $OB$ (ở vị trí ban đầu), điểm $A$ có di chuyển đến vị trí của điểm $B$ không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn $(O)$? Khi đó, điểm $C$ sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Hình: Một tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, mũi tên đứt đoạn chỉ hướng quay từ $A$ đến $B$.

Hình 9.47

Trong HĐ2 và HĐ3, ta đã thực hiện một phép quay tâm $O$ để quay tia $OA$ thuận chiều quay của kim đồng hồ đến tia $OB$ và điểm $A$ khi di chuyển tạo thành cung $AB$ của đường tròn $(O; OA)$. Ta nói phép quay này biến điểm $A$ thành điểm $B$. Cụ thể ta có khái niệm phép quay như sau:

Phép quay thuận chiều $\alpha^\circ$ ($0^\circ < \alpha^\circ < 360^\circ$) tâm $O$ giữ nguyên điểm $O$, biến điểm $A$ khác điểm $O$ thành điểm $B$ thuộc đường tròn $(O; OA)$ sao cho tia $OA$ quay thuận chiều quay của kim đồng hồ đến tia $OB$ thì điểm $A$ tạo nên cung $AB$ có số đo $\alpha^\circ$ (H.9.48a). Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ (H.9.48b). Phép quay $0^\circ$ và phép quay $360^\circ$ giữ nguyên mọi điểm.

Hình: Hai sơ đồ minh họa phép quay tâm $O$ góc $\alpha$: hình a là quay thuận chiều kim đồng hồ từ $A$ sang $B$, hình b là quay ngược chiều kim đồng hồ từ $A$ sang $B$.

Hình 9.48

87

a) Phép quay ngược chiều $180^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $A'$. Hỏi điểm $A'$ có đối xứng với điểm $A$ qua $O$ hay không?

b) Nếu phép quay thuận chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $B$ thì phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ có biến điểm $B$ thành điểm $A$ hay không?

Ví dụ 4

Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt $120^\circ$, $240^\circ$, $360^\circ$ với tâm $O$ sẽ biến các đỉnh $A$, $B$, $C$ thành những điểm nào.

Giải. Các phép quay ngược chiều lần lượt $120^\circ$, $240^\circ$, $360^\circ$ với tâm $O$ biến các điểm $A$, $B$, $C$ thành những điểm tương ứng được cho bởi bảng sau:

Phép quay ngược chiều	Đỉnh
	A	B	C
$120^\circ$	B	C	A
$240^\circ$	C	A	B
$360^\circ$	A	B	C

Hình: Tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, góc $\widehat{AOB}$ bằng $120^\circ$.

Người ta nói ba phép quay trên biến tam giác đều $ABC$ thành chính nó, hay các phép quay này giữ nguyên tam giác đều $ABC$. Tổng quát, ta có khái niệm và kết quả sau:

Một phép quay được gọi là giữ nguyên một đa giác đều $\mathcal{H}$ nếu phép quay đó biến mỗi điểm của $\mathcal{H}$ thành một điểm của $\mathcal{H}$.

Người ta chỉ ra rằng nếu một phép quay biến các đỉnh của đa giác đều $\mathcal{H}$ thành các đỉnh của $\mathcal{H}$ thì phép quay đó giữ nguyên $\mathcal{H}$.

Luyện tập 2

Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.50.

a) Phép quay thuận chiều $90^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông $ABCD$ không?

b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay thuận chiều khác, với tâm $O$ giữ nguyên hình vuông $ABCD$.

Hình: Hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$.

Thực hành

Cho điểm $O$ và điểm $A$ khác điểm $O$ (H.9.51). Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $A'$. Xác định điểm $A'$ theo hướng dẫn sau: Vẽ đường tròn $(O; OA)$ và tia $Ox$ sao cho $\widehat{AOx} = 60^\circ$, tia $Ox$ cắt đường tròn $(O; OA)$ tại điểm $A'$ (H.9.51).

Hình: Đường tròn tâm $O$, bán kính $OA$, tia $Ox$ tạo với $OA$ một góc $60^\circ$ cắt đường tròn tại $A'$.

88

Thử thách nhỏ 2

Hãy liệt kê 6 phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn $(O)$.

BÀI TẬP

9.24. Trong các hình phẳng sau (H.9.52), hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Hình: H.9.52 — năm hình phẳng ký hiệu a, b, c, d, e.

9.25. Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm $M$ và $N$ thoả mãn phép quay thuận chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến điểm $M$ thành điểm $N$?

Hình: H.9.53 — bốn sơ đồ a, b, c, d về phép quay các điểm $M$, $N$ quanh tâm $O$.

9.26. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $2\ \text{cm}$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

9.27. Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60^\circ$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Chứng minh rằng $MBNPDQ$ là lục giác đều.

9.28. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A$, $B$, $C$ lần lượt thành các điểm $D$, $E$, $F$. Chứng minh rằng $ADBECF$ là một lục giác đều.

Hình: H.9.54 — đường tròn tâm $O$ có tam giác đều $ABC$ nội tiếp bên trong.

9.29. Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm $O$.

9.30. Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55. Hỏi để cabin $A$ di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều quay của kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Hình: H.9.55 — vòng quay mặt trời với 8 cabin, có cabin $A$ và vị trí cao nhất.

89

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng $\widehat{AOB} = 120^\circ$, $\widehat{BOC} = 40^\circ$, $\widehat{COD} = 80^\circ$. Tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$.

Giải (H.9.56).

Xét đường tròn $(O)$, ta có:

$\widehat{ADB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = 60^\circ$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\overparen{AB}$);

$\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOC} = 20^\circ$ (các góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\overparen{BC}$);

$\widehat{CAD} = \dfrac{1}{2}\widehat{COD} = 40^\circ$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $\overparen{CD}$).

Suy ra $\widehat{BAD} = \widehat{BAC} + \widehat{CAD} = 60^\circ$ và $\widehat{ADC} = \widehat{ADB} + \widehat{BDC} = 80^\circ$.

Vì các góc đối nhau của tứ giác nội tiếp $ABCD$ có tổng bằng $180^\circ$ nên $\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{ADC} = 100^\circ$ và $\widehat{BCD} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 120^\circ$.

Hình: Hình 9.56 mô tả tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ với các góc ở tâm được cho.

Ví dụ 2

Cho lục giác đều $ABCDEF$.

a) Tính số đo các góc $\widehat{BCF}$, $\widehat{BDF}$, $\widehat{BEF}$.

b) Gọi $O$ là tâm của lục giác đều. Hãy chỉ ra ba phép quay tâm $O$ giữ nguyên tam giác $ACE$.

Giải (H.9.57).

a) Lục giác đều $ABCDEF$ có các góc bằng $120^\circ$ và nội tiếp một đường tròn $(O)$. Khi đó, các tứ giác $ABCF$, $ABDF$, $ABEF$ nội tiếp $(O)$.

Vì vậy $\widehat{BCF} = 180^\circ - \widehat{BAF} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Tương tự, $\widehat{BDF} = \widehat{BEF} = 60^\circ$.

b) Tương tự câu a, các góc của tam giác $ACE$ đều bằng $60^\circ$, hay $ACE$ là tam giác đều và nội tiếp đường tròn $(O)$. Như vậy, ba phép quay tâm $O$ giữ nguyên tam giác $ACE$ là ba phép quay thuận chiều lần lượt $120^\circ$, $240^\circ$, $360^\circ$ với tâm $O$.

Hình: Hình 9.57 mô tả lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ và tam giác đều $ACE$.

90

BÀI TẬP

9.31. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Chứng minh rằng $BCEF$, $CAFD$, $ABDE$ là những tứ giác nội tiếp.

9.32. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$ như Hình 9.58. Biết $\widehat{BEC} = 40^\circ$ và $\widehat{DFC} = 20^\circ$, tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$.

Hình: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$; cạnh $AB$ và $CD$ kéo dài cắt nhau tại $E$ ($\widehat{BEC} = 40^\circ$); cạnh $AD$ và $BC$ kéo dài cắt nhau tại $F$ ($\widehat{DFC} = 20^\circ$).

9.33. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4$ cm. Tính chu vi, diện tích của các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp hình vuông $ABCD$.

9.34. Biết rằng bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ của một hình vuông cùng nằm trên một đường tròn $(O)$ theo thứ tự ngược chiều quay của kim đồng hồ. Phép quay thuận chiều $45^\circ$ biến các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt thành các điểm $E$, $F$, $G$, $H$.

a) Vẽ đa giác $EAFBGCHD$.

b) Đa giác $EAFBGCHD$ có phải là một bát giác đều hay không? Vì sao?

9.35. Cho ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.59.

a) Hãy tìm một phép quay thuận chiều tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$.

b) Phép quay trên sẽ biến các điểm $B$, $C$, $D$, $E$ lần lượt thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên ngũ giác đều $ABCDE$ không?

Hình: Ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $O$.

9.36. Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh $10$ cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Hình: Khay hình lục giác đều chia thành 7 ngăn: một lục giác đều nhỏ ở giữa và sáu hình thang cân xung quanh.

91

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

A. TRẮC NGHIỆM

9.37. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.

B. Góc có hai cạnh chứa các dây cung của đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.

C. Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn.

D. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.

9.38. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp một đường tròn có $\hat{A} - \hat{C} = 100^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\hat{A} = 80^\circ$. B. $\hat{C} = 80^\circ$. C. $\hat{B} + \hat{D} = 100^\circ$. D. $\hat{A} = 140^\circ$.

9.39. Đa giác nào dưới đây không nội tiếp một đường tròn?

A. Đa giác đều. B. Hình chữ nhật. C. Hình bình hành. D. Tam giác.

B. TỰ LUẬN

9.40. Cho tam giác $ABC$ có các đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $I$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $AEHF$ nội tiếp một đường tròn tâm $I$;

b) $ME$, $MF$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$.

9.41. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng các tứ giác $ANOP$, $BPOM$, $CMON$ là các tứ giác nội tiếp.

9.42. Cho một hình lục giác đều và một hình vuông cùng nội tiếp một đường tròn. Biết rằng hình vuông có cạnh bằng $3$ cm. Tính chu vi và diện tích của hình lục giác đều đã cho.

9.43.

a) Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ (H.9.61). Phép quay thuận chiều $45^\circ$ tâm $O$ biến các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ lần lượt thành các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Hãy vẽ tứ giác $A'B'C'D'$.

b) Phép quay trong câu a biến các điểm $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ thành những điểm nào?

Hình: H.9.61 — trên lưới có đường tròn tâm $O$, hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn, các đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên đường tròn.

9.44. Bạn Lan muốn cắt hình ngôi sao có dạng như Hình 9.62 (trong đó $ABCDE$ là một ngũ giác đều). Lan gấp đôi tờ giấy, vẽ một nửa ngôi sao và cắt theo nét vẽ. Hỏi góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu bằng bao nhiêu độ?

Hình: Hình 9.62 — ngôi sao năm cánh màu hồng với các đỉnh trong $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ tạo thành ngũ giác đều; bên cạnh là tờ giấy gấp đôi và kéo cắt theo nét đứt để tạo ngôi sao khi mở ra.

92