Bài 7 CĂN BẬC HAI VÀ CĂN THỨC BẬC HAI

Khái niệm, thuật ngữ • Căn bậc hai • Căn thức bậc hai • Điều kiện xác định của căn thức bậc hai

Kiến thức, kĩ năng • Nhận biết căn bậc hai của một số thực không âm. Tính được giá trị đúng (hoặc gần đúng) căn bậc hai của một số thực dương bằng máy tính cầm tay. • Nhận biết căn thức bậc hai của một biểu thức đại số, điều kiện xác định của căn thức bậc hai; tính được giá trị căn thức bậc hai tại những giá trị đã cho của biến. • Sử dụng hằng đẳng thức căn bậc hai của một bình phương để đơn giản căn thức bậc hai.

Trong Vật lí, quãng đường $S$ (tính bằng mét) của một vật rơi tự do được cho bởi công thức $S = 4,9t^2$, trong đó $t$ là thời gian rơi (tính bằng giây). Hỏi sau bao nhiêu giây thì vật sẽ chạm đất nếu được thả rơi tự do từ độ cao 122,5 mét?

44

1 CĂN BẬC HAI

Tìm hiểu khái niệm căn bậc hai HD1 Tìm các số thực $x$ sao cho $x^2 = 49$. Căn bậc hai của số thực không âm $a$ là số thực $x$ sao cho $x^2 = a$.

Nhận xét

– Số âm không có căn bậc hai; – Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0; – Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của $a$) và $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 1 Tìm căn bậc hai của 81. Giải Ta có $\sqrt{81} = 9$ nên 81 có hai căn bậc hai là 9 và –9.

Luyện tập 1 Tìm căn bậc hai của 121.

Tính căn bậc hai của một số bằng máy tính cầm tay Để tính các căn bậc hai của một số $a > 0$, chỉ cần tính $\sqrt{a}$. Có thể dễ dàng làm điều này bằng cách sử dụng MTCT.

Ví dụ 2 Sử dụng MTCT, tính căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Giải Bấm các phím $\sqrt{\square}$ 1 1 . 1 = S⇔D màn hình hiện kết quả là 3,33166625. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được $\sqrt{11,1} \approx 3,33$. Vậy căn bậc hai của 11,1 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là 3,33 và –3,33.

Luyện tập 2 Sử dụng MTCT tìm căn bậc hai của $\frac{7}{11}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Tính chất của căn bậc hai HD2 Tính và so sánh $\sqrt{a^2}$ và $|a|$ trong mỗi trường hợp sau: a) $a = 3$; b) $a = -3$.

45

Tính chất:

$\sqrt{a^{2}} = |a|$ với mọi số thực $a$.

Ví dụ 3 Không sử dụng MTCT, tính:

a) $1-\sqrt{2}+\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}}$; b) $\sqrt{\left(-3\right)^{2}}+3$.

Giải

a) Ta có $\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}} = \left|1+\sqrt{2}\right| = 1+\sqrt{2}$ nên $1-\sqrt{2}+\sqrt{\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}} = 1-\sqrt{2}+\left(1+\sqrt{2}\right) = 2$.

b) Ta có $\sqrt{\left(-3\right)^{2}} = \left|-3\right| = 3$ nên $\sqrt{\left(-3\right)^{2}}+3 = 3+3 = 6$.

Luyện tập 3

a) Không sử dụng MTCT, tính: $\sqrt{6^2}$; $\sqrt{(-5)^2}$; $\sqrt{5} - \sqrt{(\sqrt{5} - 1)^2}$. b) So sánh 3 với $\sqrt{10}$ bằng hai cách: – Sử dụng MTCT;

– Sử dụng tính chất của căn bậc hai số học đã học ở lớp 7: Nếu $0 \le a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

2 CĂN THỨC BẬC HAI

Căn thức bậc hai

HD3 Viết biểu thức tính độ dài cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$, biết $AB = 3$ cm và $AC = x$ cm. Biểu thức nhận được trong HD3 có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số. Tổng quát, ta có định nghĩa:

Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số. $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

HD4 Cho biểu thức $C = \sqrt{2x - 1}$.

a) Tính giá trị của biểu thức tại $x = 5$.

b) Tại $x = 0$ có tính được giá trị của biểu thức không? Vì sao?

$\sqrt{A}$ xác định khi $A$ lấy giá trị không âm và ta thường viết là $A \geq 0$. Ta nói $A \geq 0$ là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.

number

Ví dụ 4 Xét căn thức $\sqrt{2x + 1}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức. b) Tính giá trị của căn thức đã cho tại $x = 0$ và $x = 4$.

Giải

a) Điều kiện xác định của căn thức là $2x + 1 \ge 0$ hay $x \ge -\frac{1}{2}$.

b) Tại $x = 0$ (thoả mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là $\sqrt{2 \cdot 0 + 1} = 1$.

Tại $x = 4$ (thoả mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là $\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = 3$.

Luyện tập 4 Cho căn thức $\sqrt{5-2x}$.

a) Tìm điều kiện xác định của căn thức.

b) Tính giá trị của căn thức tại $x = 2$.

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$

Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với $A$ là một biểu thức, ta cũng có:

• Với $A \ge 0$ ta có $\sqrt{A} \ge 0$; $\left(\sqrt{A}\right)^2 = A$;

• $\sqrt{A^2} = |A|$.

Ví dụ 5 Rút gọn các biểu thức sau:

a) $(\sqrt{1-x})^2$ với $x < 0$;

b) $\sqrt{1-2x+x^2}$ với $x > 2$.

Giải

a) Từ giả thiết $x < 0$ suy ra $1 - x > 0$. Do đó $\left(\sqrt{1 - x}\right)^2 = 1 - x.$ ← hằng đẳng thức $\left(\sqrt{A}\right)^2 = A$ với mọi $A \ge 0$.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$, ta có $\sqrt{1 - 2x + x^2} = \sqrt{(1 - x)^2} = |1 - x|$.

Do giả thiết $x > 2$ suy ra $1 - x < 0$ nên $|1 - x| = -(1 - x) = x - 1$. Vì vậy $\sqrt{1 - 2x + x^2} = \sqrt{(1 - x)^2} = x - 1 \quad \text{với } x > 2.$

A small, simple image showing what appears to be a pale orange or peach-colored circle, resembling a sun or a plain circular shape. The circle has a soft, slightly uneven edge giving it an organic appearance. No text is present in the image.

Number label or badge

Luyện tập 5

a) Rút gọn biểu thức $x\sqrt{x^6}$ ($x < 0$).

b) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức $x + \sqrt{4x^2 - 4x + 1}$ tại $x = -2,5$.

Vận dụng Trở lại tình huống mở đầu.

a) Viết công thức tính thời gian $t$ (giây) cần thiết để vật rơi được quãng đường $S$ (mét). b) Sử dụng công thức tìm được trong câu a, hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

BÀI TẬP

3.1. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 24,5; b) $\frac{9}{10}$.

3.2. Để chuẩn bị trồng cây trên vỉa hè, người ta để lại những ô đất hình tròn có diện tích khoảng 2 m². Em hãy ước lượng (với độ chính xác 0,005) đường kính của các ô đất đó khoảng bao nhiêu mét?

3.3. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{x+10}$ và tính giá trị của căn thức tại $x = -1$.

3.4. Tính:

$\sqrt{5,1^2};\quad \sqrt{(-4,9)^2};\quad -\sqrt{(-0,001)^2}.$

3.5. Rút gọn các biểu thức sau:

3.5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}$;

b) $3\sqrt{x^{2}-x+1}$ ($x<0$);

c) $\sqrt{x^{2}-4x+4}$ ($x<2$).

3.6. Không dùng MTCT, chứng tỏ biểu thức A có giá trị là số nguyên:

A mathematical formula showing the calculation of A, which equals the square root of (1 plus 2 times the square root of 2) squared, minus the square root of (1 minus 2 times the square root of 2) squared.

Number

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Phép khai căn bậc hai	• Nhận biết cách khai căn bậc hai của một tích, một thương. • Nhận biết cách nhân và chia các căn bậc hai. • Vận dụng tính toán đơn giản về căn thức bậc hai của biểu thức đại số (căn thức bậc hai của một tích, một thương).

Phép tìm căn bậc hai số học của một số hay biểu thức cũng được gọi là phép khai căn bậc hai. Phép khai căn bậc hai và phép nhân, phép chia có một mối liên hệ đặc biệt mà chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài học này.

1 KHAI CĂN BẬC HAI VÀ PHÉP NHÂN

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân HD1 Tính và so sánh: $\sqrt{100} \cdot \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 \cdot 4}$. Với $A, B$ là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} = \sqrt{AB}$.

Chú ý. Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \cdot \sqrt{C} = \sqrt{A \cdot B \cdot C}$ (với $A \ge 0$, $B \ge 0$, $C \ge 0$).

Ví dụ 1 Tính: a) $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3}$; b) $\sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5})$.

Giải a) Ta có: $\sqrt{27} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{27 \cdot 3} = \sqrt{81} = 9$. b) Ta có: $\sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5}) = \sqrt{5} \cdot \sqrt{125} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5 \cdot 125} + \sqrt{25} = 25 + 5 = 30$.

Ví dụ 2 Rút gọn $\sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x}$ với $x \ge 0$.

Giải

Ta có $\sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x} = \sqrt{5x \cdot 20x} = \sqrt{100x^2} = \sqrt{(10x)^2} = |10x| = 10x$ với $x \ge 0$.

Luyện tập 1

a) Tính $\sqrt{3} \cdot \sqrt{75}$.

b) Rút gọn $\sqrt{5ab^3} \cdot \sqrt{5ab}$ (với $a < 0$, $b < 0$).

Number

Ví dụ 3 Tính $\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$.

Giải

$\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

The image shows a cartoon mascot character shaped like the Greek letter Pi (π) in green color, holding a pencil in one hand and a book/notebook in the other hand. The character has googly eyes and a friendly appearance. Above the character is a speech bubble or text box containing a mathematical statement in Vietnamese.

Ví dụ 4 Rút gọn biểu thức $\sqrt{25a^2b^2}$ (với $a \ge 0$, $b < 0$).

Giải

Theo giả thiết $a \ge 0$, $b < 0$, do đó

$\sqrt{25a^2b^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = 5|a| \cdot |b| = -5ab.$

Luyện tập 2

a) Tính nhanh $\sqrt{25 \cdot 49}$. b) Phân tích thành nhân tử: $\sqrt{ab} - 4\sqrt{a}$ (với $a \ge 0$, $b \ge 0$).

2 KHAI CĂN BẬC HAI VÀ PHÉP CHIA

Liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia HD2 Tính và so sánh: $\sqrt{100} : \sqrt{4}$ và $\sqrt{100 : 4}$. Nếu $A, B$ là các biểu thức với $A \ge 0, B > 0$ thì $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$.

Ví dụ 5

a) Tính $\sqrt{8} : \sqrt{2}$.

b) Rút gọn $\sqrt{52a^3} : \sqrt{13a}$ ($a > 0$).

Giải

a) $\sqrt{8} : \sqrt{2} = \sqrt{8 : 2} = \sqrt{4} = 2$.

b) $\sqrt{52a^3} : \sqrt{13a} = \sqrt{52a^3 : (13a)} = \sqrt{4a^2} = \sqrt{(2a)^2} = |2a| = 2a$ (do $a > 0$).

Luyện tập 3

a) Tính $\sqrt{18} : \sqrt{50}$. b) Rút gọn $\sqrt{16ab^2} : \sqrt{4a}$ (với $a > 0$, $b < 0$).

Ví dụ 6

a) Viết số dưới dấu căn thành một phân số thập phân rồi tính $\sqrt{1,69}$.

b) Rút gọn $a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^2}}$ ($a > 0$).

Number

Giải

a) Ta có $1,69 = \frac{169}{100} = \frac{13^2}{10^2}$ nên $\sqrt{1,69} = \sqrt{\frac{13^2}{10^2}} = \frac{\sqrt{13^2}}{\sqrt{10^2}} = \frac{13}{10} = 1,3$.

b) Do $a > 0$ nên $a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^2}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a^2}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$.

Luyện tập 4

a) Tính $\sqrt{6,25}$.

b) Rút gọn $\left(a^2 - 1\right) \cdot \sqrt{\frac{5}{(a-1)^2}}$ ($a > 1$).

Vận dụng

Công suất $P$ (W), hiệu điện thế $U$ (V), điện trở $R$ ($\Omega$) trong đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức $U = \sqrt{PR}$. Nếu công suất tăng gấp 8 lần, điện trở giảm 2 lần thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Tranh luận

Vì $\sqrt{(-3)^2} = -3$ và $\sqrt{(-12)^2} = -12$ nên $\sqrt{(-3)^2 \cdot (-12)^2} = (-3) \cdot (-12) = 36$.

Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?

Theo em, cách làm của Vuông có đúng không? Vì sao?

BÀI TẬP

3.7. Tính: a) $\sqrt{12} \cdot \left(\sqrt{12} + \sqrt{3}\right)$; b) $\sqrt{8} \cdot \left(\sqrt{50} - \sqrt{2}\right)$;

3.8. Rút gọn biểu thức $\sqrt{2\left(a^2 - b^2\right)} \cdot \sqrt{\frac{3}{a + b}}$ (với $a \ge b > 0$).

3.9. Tính: a) $\sqrt{99} : \sqrt{11}$; b) $\sqrt{7,84}$;

3.10. Rút gọn $\frac{-3\sqrt{16a} + 5a\sqrt{16ab^2}}{2\sqrt{a}}$ (với $a > 0, b > 0$).

c) $\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2 - 2\sqrt{6}$.

c) $\sqrt{1815} : \sqrt{15}$.

3.11. Kích thước màn hình ti vi hình chữ nhật được xác định bởi độ dài đường chéo. Một loại ti vi có tỉ lệ hai cạnh màn hình là 4 : 3.

a) Gọi x (inch) là chiều rộng của màn hình ti vi. Viết công thức tính độ dài đường chéo d (inch) của màn hình ti vi theo x.

b) Tính chiều rộng và chiều dài (theo centimét) của màn hình ti vi loại 40 inch.

A small square tile or label with a light green background containing the number 51 in dark gray text on the left side.

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1 Không dùng MTCT, tính giá trị của biểu thức:

A mathematical formula showing A equals the square root of the quantity (1 minus square root of 3) squared, minus square root of 3.

Giải

Ta có $A = \left|1 - \sqrt{3}\right| - \sqrt{3} = \left(\sqrt{3} - 1\right) - \sqrt{3} = -1$. ← hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$.

Ví dụ 2 Tính:

a) $\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)$; b) $\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$.

Giải

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương, ta được: a) $(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$. b) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$.

Chú ý. Tổng quát, ta có

$\left(A+\sqrt{B}\right)\left(A-\sqrt{B}\right)=A^{2}-B$ với $A, B$ là hai biểu thức, $B \ge 0$. $\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)=A-B$ với $A, B$ là hai biểu thức không âm. Ta nói $A+\sqrt{B}$ và $A-\sqrt{B}$; $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ và $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ là những cặp biểu thức liên hợp.

Ví dụ 3 Cho biểu thức $P = \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x} + 1} - 1$ với $x \ge 0$.

a) Viết $x\sqrt{x} + 1$ thành tổng hai lập phương rồi phân tích thành nhân tử để rút gọn biểu thức đã cho.

b) Tính giá trị của $P$ tại $x = 100$.

Giải

a) Ta có $x\sqrt{x} + 1 = \left(\sqrt{x}\right)^3 + 1^3 = \left(\sqrt{x} + 1\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2 - \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2\right] = \left(\sqrt{x} + 1\right)\left(x - \sqrt{x} + 1\right)$.

Từ đó $P = \left(\sqrt{x} + 1\right) - 1 = \sqrt{x}$.

b) Tại $x = 100$ (thoả mãn điều kiện) thì $P = \sqrt{100} = 10$.

52

BÀI TẬP

3.12. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}}$;

3.13. Thực hiện phép tính:

a) $\sqrt{3}\left(\sqrt{192}-\sqrt{75}\right)$;

3.14. Chứng minh rằng:

a) $\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}=3-2\sqrt{2};$

b) $\sqrt{\left(\sqrt{7}-3\right)^{2}}+\sqrt{\left(\sqrt{7}+3\right)^{2}}$.

b) $\frac{-3\sqrt{18}+5\sqrt{50}-\sqrt{128}}{7\sqrt{2}}$.

b) $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2}=5+2\sqrt{6}$.

3.15. Cho căn thức $\sqrt{x^2 - 4x + 4}$.

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x. b) Rút gọn căn thức đã cho với $x \ge 2$. c) Chứng tỏ rằng với mọi $x \ge 2$, biểu thức $\sqrt{x - \sqrt{x^2 - 4x + 4}}$ có giá trị không đổi.

3.16. Vận tốc (m/s) của một vật đang bay được cho bởi công thức $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$, trong đó $E$ là động năng của vật (tính bằng Joule, kí hiệu là J) và $m$ (kg) là khối lượng của vật (Theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). Tính vận tốc bay của một vật khi biết vật đó có khối lượng 2,5 kg và động năng 281,25 J.

VỚI CUỘC SỐNG

A small square tile or badge with a light green background displaying the number 53 in dark text on the left side, with a slightly darker green vertical stripe on the right edge.