Bài 9

BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Khái niệm, thuật ngữ • Phép đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn • Trục căn thức ở mẫu

Kiến thức, kĩ năng • Thực hiện phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai, đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai. • Thực hiện phép trục căn thức ở mẫu. • Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai.

Không sử dụng MTCT, có thể so sánh được hai số $a = 3\sqrt{2}$ và $b = 2\sqrt{3}$ hay không?

1 ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

Cách đưa thừa số ra ngoài dấu căn

HD1 Tính và so sánh $\sqrt{(-3)^2 \cdot 25}$ với $|-3| \cdot \sqrt{25}$.

Nếu $a$ là một số và $b$ là một số không âm thì $\sqrt{a^2 \cdot b} = |a|\sqrt{b}$.

Chú ý. Phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Ví dụ 1 Viết nhân tử số của biểu thức dưới dấu căn thành tích các luỹ thừa rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{45}$;

b) $\sqrt{243a}$ ($a \ge 0$).

Giải

a) Ta có $45 = 3^2 \cdot 5$ nên $\sqrt{45} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$;

b) Ta có $243 = 3 \cdot 9^2$ nên $\sqrt{243a} = \sqrt{9^2 \cdot 3a} = 9\sqrt{3a}$.

Number

Luyện tập 1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12}$; b) $3\sqrt{27}$; c) $5\sqrt{48}$.

Chú ý. Khi tính toán với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (tức là biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu) như trong ví dụ sau:

Ví dụ 2 Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{4}{7}}$.

Giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với 7 và đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta được

A mathematical expression showing the simplification of the square root of 4/7. The formula demonstrates step-by-step rationalization of the denominator, starting from sqrt(4/7), then rewriting as sqrt(4·7/7²), then as sqrt((2/7)²·7), and finally simplifying to 2√7/7.

Luyện tập 2

Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{3}{5}}$.

Tranh luận

$\sqrt{(-2)^2 \cdot 5} = -2\sqrt{5}$.

Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

2 ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

Cách đưa một thừa số vào trong dấu căn HD2 Tính và so sánh:

a) $5 \cdot \sqrt{4}$ với $\sqrt{5^2 \cdot 4}$; b) $-5 \cdot \sqrt{4}$ với $-\sqrt{(-5)^2 \cdot 4}$.

• Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm thì $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$. • Nếu $a$ là số âm và $b$ là số không âm thì $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.

Chú ý. Các phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

A small square badge or label with a light green background displaying the number 55 in dark text.

Ví dụ 3 Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $5\sqrt{2}$; b) $-2\sqrt{a}$ ($a \ge 0$).

Giải

a) $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{50}$; b) $-2\sqrt{a} = -\sqrt{2^2 \cdot a} = -\sqrt{4a}$.

Ví dụ 4 Trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Giải

Ta có $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$; $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Vì $\sqrt{12} < \sqrt{18}$ nên $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Luyện tập 3 Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $3\sqrt{5}$; b) $-2\sqrt{7}$.

3 TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

Tính toán với các biểu thức có chứa căn ở mẫu thường phức tạp và ta thường tìm cách trục các căn thức ở mẫu (tức là biến đổi biểu thức thành một biểu thức mới không chứa căn ở mẫu).

Cách trục căn thức ở mẫu

HD3 Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{3a}{2\sqrt{2}}$ với $\sqrt{2}$ và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

HD4 Cho hai biểu thức $\frac{-2}{\sqrt{3}+1}$ và $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$. Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu: a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu. b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Page number

• Với các biểu thức $A$, $B$ và $B > 0$, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A\sqrt{B}}{B}$. • Với các biểu thức $A$, $B$, $C$ mà $A \ge 0$, $A \ne B^2$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C(\sqrt{A} - B)}{A - B^2}$; $\frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C(\sqrt{A} + B)}{A - B^2}$. • Với các biểu thức $A$, $B$, $C$ mà $A \ge 0$, $B \ge 0$, $A \ne B$, ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}$; $\frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C(\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$.

Ví dụ 5 Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{2}{3\sqrt{5}}$; b) $\frac{a}{3-2\sqrt{2}}$.

Giải

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{5}$, ta được:

A mathematical formula showing the rationalization of a fraction with a radical in the denominator. The expression shows step-by-step simplification of 2 divided by 3 times the square root of 5.

b) Biểu thức liên hợp của mẫu là $3 + 2\sqrt{2}$. Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $3 + 2\sqrt{2}$, ta được:

$\frac { a } { 3 - 2 \sqrt { 2 } } = \frac { a \left( 3 + 2 \sqrt { 2 } \right) } { \left( 3 - 2 \sqrt { 2 } \right) \left( 3 + 2 \sqrt { 2 } \right) } = \frac { a \left( 3 + 2 \sqrt { 2 } \right) } { 3 ^ { 2 } - \left( 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { a \left( 3 + 2 \sqrt { 2 } \right) } { 9 - 8 } = \left( 3 + 2 \sqrt { 2 } \right) a .$

Luyện tập 4 Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a)	$\frac{-5\sqrt{x^2+1}}{2\sqrt{3}};$
b)	$\frac{a^2-2a}{\sqrt{a}+\sqrt{2}}$ ($a\geq 0$, $a\neq 2$).

4 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

The image shows two cartoon-style icons representing a recycling or exchange process. On the left is a blue cartoon character (resembling a small device or box with eyes and a smile) and on the right is a yellow/orange cartoon character of similar design. Between them are two curved arrows forming a circular exchange symbol - one arrow pointing from left to right (top) and one arrow pointing from right to left (bottom), indicating a swap, exchange, or recycling relationship between the two elements.

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

A small rectangular badge or label with a light green/yellow-green background color. It contains the number '57' in dark text on the left side, with a slightly darker green square or block on the right side.

Ví dụ 6

Rút gọn biểu thức $A = 2\sqrt{3} - \sqrt{75} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ .

Giải

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có: $\sqrt{75} = \sqrt{3 \cdot 5^2} = 5\sqrt{3}$;

$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}=\left|1-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}-1.$

Do đó $A = 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = -1 - 2\sqrt{3}$.

Ví dụ 7

a) Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức: $\frac{x^2 - 1}{\sqrt{x} - 1}$; $\frac{x^2 - x}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn biểu thức $P = \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x^2 - x}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

Giải

a) Ta có

$\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(x^{2}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{(x-1)(x+1)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=(x+1)\left(\sqrt{x}+1\right)=x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x+1$;

$\frac{x^{2}-x}{\sqrt{x}+1}=\frac{\left(x^{2}-x\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{x(x-1)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}=x\left(\sqrt{x}-1\right)=x\sqrt{x}-x$.

b) Sử dụng kết quả câu a ta có $P = \left( x\sqrt{x} + \sqrt{x} + x + 1 \right) - \left( x\sqrt{x} - x \right) = 2x + \sqrt{x} + 1$.

Luyện tập 5 Rút gọn biểu thức sau:

A mathematical expression involving square roots and fractions. The expression consists of two fractions added together, multiplied by a binomial. The first fraction has numerator (√22 - √11) and denominator (1 - √2). The second fraction has numerator (√21 - √7) and denominator (1 - √3). This sum is then multiplied by (√7 - √11).

Vận dụng Trong thuyết tương đối, khối lượng $m$ (kg) của một vật khi chuyển động với vận tốc $v$ (m/s) được cho bởi công thức

This is a mathematical formula representing the relativistic mass equation from Einstein's special theory of relativity. The formula shows how the relativistic mass (m) of an object increases as its velocity approaches the speed of light.

trong đó $m_0$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, $c$ (m/s) là vận tốc của ánh sáng trong chân không (Theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Number

a) Viết lại công thức tính khối lượng $m$ dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng $m$ theo $m_0$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với vận tốc $v = \frac{1}{10}c$.

BÀI TẬP

3.17. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{52}$; b) $\sqrt{27a}$ ($a \ge 0$); c) $\sqrt{50\sqrt{2} + 100}$; d) $\sqrt{9\sqrt{5} - 18}$.

3.18. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $4\sqrt{3}$; b) $-2\sqrt{7}$; c) $4\sqrt{\frac{15}{2}}$; d) $-5\sqrt{\frac{16}{5}}$.

3.19. Khử mẫu trong dấu căn: a) $2a\cdot\sqrt{\frac{3}{5}}$; b) $-3x\cdot\sqrt{\frac{5}{x}}$ ($x > 0$); c) $-\sqrt{\frac{3a}{b}}$ ($a \ge 0, b > 0$).

3.20. Trục căn thức ở mẫu:

a)	$\frac{4+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$;	b)	$\frac{1}{\sqrt{5}-2}$;
c)	$\frac{3+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$;	d)	$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

3.21. Rút gọn các biểu thức sau:

a)	2√2/3 - 4√3/2
b)	(5√48 - 3√27 + 2√12)/√3
c)	1/(3 + 2√2) + (4√2 - 4)/(2 - √2)

3.22. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{x}\left(\frac{1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{3 - \sqrt{x}}\right)$ ($x \ge 0$, $x \ne 9$).

A small rectangular label or badge with a light green/yellow-green background color containing the number 59 in dark text on the left side, with a darker green vertical bar or tab on the right edge.

Banner/header image for a Vietnamese mathematics lesson

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Căn bậc ba • Căn thức bậc ba	• Nhận biết căn bậc ba của một số thực. • Tính giá trị đúng, gần đúng của căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay. • Nhận biết căn thức bậc ba của một biểu thức đại số.

Căn bậc hai của một số thực (dương) có một vai trò quan trọng trong đời sống và toán học. Căn bậc hai của số thực $a$ không âm là các số thực $x$ thoả mãn điều kiện $x^2 = a$. Trong bài học này, các em sẽ được làm quen với khái niệm căn bậc ba, một khái niệm tương tự khái niệm căn bậc hai.

1 CĂN BẬC BA

Căn bậc ba của một số thực HD Kí hiệu V là thể tích của hình lập phương với cạnh x. Hãy thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

x	V = x³
2	8
?	27
?	64

Tổng quát, ta định nghĩa:

Căn bậc ba của số thực $a$ là số thực $x$ thoả mãn $x^3 = a$.

Chú ý. Mỗi số $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số $a$ được kí hiệu là $\sqrt[3]{a}$. Trong kí hiệu $\sqrt[3]{a}$, số 3 được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.

Ví dụ 1 a) Chứng tỏ rằng $\sqrt[3]{64} = 4$. b) Tính $\sqrt[3]{0}$ và $\sqrt[3]{-27}$. Giải. a) Vì $4^3 = 64$ nên $\sqrt[3]{64} = 4$. b) Vì $0^3 = 0$ nên $\sqrt[3]{0} = 0$. Vì $(-3)^3 = -27$ nên $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Nhận xét. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có $\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = a$ với mọi số thực $a$. Do đó có thể giải Ví dụ 1 như sau: $\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}} = 4$.

Number

Luyện tập 1 Tính: a) $\sqrt[3]{125}$; b) $\sqrt[3]{0,008}$; c) $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$.

Tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay

Ta có thể sử dụng loại MTCT thích hợp để tính căn bậc ba của một số. Chẳng hạn, để tính $\sqrt[3]{12}$ và $\sqrt[3]{343}$ ta làm như sau:

Phép tính	Bấm các phím	Kết quả
³√343	SHIFT √□ 3 4 3 =	7
³√12	SHIFT √□ 1 2 =	2,289428485

Chú ý. Màn hình MTCT chỉ hiển thị được một số hữu hạn chữ số nên các kết quả là số thập phân vô hạn (tuần hoàn hay không tuần hoàn) đều được làm tròn, chẳng hạn: $\sqrt[3]{12} \approx 2,289428485$.

Ví dụ 2

Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{3,25}$ rồi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Giải. Bấm các phím SHIFT √ 3 • 2 5 =, màn hình hiện kết quả 1,481248034. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được ∛3,25 ≈ 1,48.

Luyện tập 2

Sử dụng MTCT, tính $\sqrt[3]{45}$ và làm tròn kết quả với độ chính xác 0,005.

A colorful educational image from what appears to be a Vietnamese math textbook. It features a yellow cartoon smiley face character with arms and legs, wearing green shoes, appearing to wave or gesture. There is a speech bubble next to the character containing a math challenge question in Vietnamese. The image has a header section with a gift box icon.

2 CĂN THỨC BẬC BA

Nhận biết căn thức bậc ba

Tương tự như căn thức bậc hai, ta có định nghĩa sau:

Căn thức bậc ba là biểu thức có dạng $\sqrt[3]{A}$, trong đó $A$ là một biểu thức đại số.

A small rectangular badge or label with a light green/olive colored right portion and a white left portion containing the number 61.

Chú ý

• Tương tự căn bậc ba của một số, ta cũng có $\left(\sqrt[3]{A}\right)^{3} = \sqrt[3]{A^{3}} = A$ ($A$ là một biểu thức).

• Để tính giá trị của $\sqrt[3]{A}$ tại những giá trị cho trước của biến, ta thay các giá trị cho trước của biến vào căn thức rồi tính giá trị của biểu thức số nhận được.

Ví dụ 3 Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{2x+5}$ tại:

a) $x = 60$; b) $x = -6, 5$.

Giải

a) Với $x = 60$ ta có $\sqrt[3]{2 \cdot 60 + 5} = \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.

b) Với $x = -6,5$ ta có $\sqrt[3]{2 \cdot (-6,5) + 5} = \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.

Ví dụ 4 Rút gọn biểu thức $-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}$.

Giải

Ta có $x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3$. ← hằng đẳng thức lập phương của một tổng

Do đó $-x + 5 + \sqrt[3]{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} = -x + 5 + \sqrt[3]{(x + 1)^3} = -x + 5 + (x + 1) = 6$.

Luyện tập 3

a) Tính giá trị của căn thức $\sqrt[3]{5x - 1}$ tại $x = 0$ và tại $x = -1,4$.

b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 3x - 1}$.

BÀI TẬP

3.23. Tính:

a) $\sqrt[3]{216}$; b) $\sqrt[3]{-512}$; c) $\sqrt[3]{-0,001}$; d) $\sqrt[3]{1,331}$.

3.24. Sử dụng MTCT, tính các căn bậc ba sau đây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

a) $\sqrt[3]{2,1}$; b) $\sqrt[3]{-18}$; c) $\sqrt[3]{-28}$; d) $\sqrt[3]{0,35}$.

3.25. Một người thợ muốn làm một thùng tôn hình lập phương có thể tích bằng 730 dm³. Em hãy ước lượng chiều dài cạnh thùng khoảng bao nhiêu decimét.

3.26. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{(1-\sqrt{2})^3}$; b) $\sqrt[3]{(2\sqrt{2}+1)^3}$; c) $(\sqrt[3]{\sqrt{2}+1})^3$.

3.27. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\sqrt[3]{27x^3 - 27x^2 + 9x - 1}$ tại $x = 7$.

Number

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{\left(\sqrt{3} + 1\right)^2} - \sqrt{3\left(\sqrt{3} + 1\right)^2} + \sqrt{4}$.

Giải

Ta có $A = \sqrt{\left(\sqrt{3} + 1\right)^2} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\sqrt{3} + 1\right)^2} + \sqrt{2^2} = \left(\sqrt{3} + 1\right) - \sqrt{3}\left(\sqrt{3} + 1\right) + 2 = 0$.

Ví dụ 2

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 1$.

a) Rút gọn $P$.

b) Sử dụng kết quả câu a, tính giá trị của $P$ khi $x = 101$.

Giải

a) $P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} = \frac{2x}{x - 1}$.

b) Khi $x = 101$ thì $P = \frac{2 \cdot 101}{101 - 1} = \frac{202}{100} = 2,02$.

Ví dụ 3

VỚI CUỘC SỐNG

Người ta cần làm một thùng hình lập phương bằng bìa cứng không có nắp trên và có thể tích 216 dm³ để đựng đồ. Tính diện tích bìa cứng cần dùng để làm thùng đựng đó (coi diện tích các mép nối là không đáng kể).

The image shows a simple 3D illustration of an open box or cube shape. It is rendered in shades of orange and peach/light orange. The box is depicted from a slightly elevated perspective, showing the front face, right side face, and the open top. The interior of the box is visible from the top opening, shown in a slightly darker orange tone. There is no text present in the image.

Giải

Gọi $x$ (dm, $x > 0$) là độ dài cạnh của thùng hình lập phương cần làm. Ta có: $x^3 = 216$, suy ra $x = \sqrt[3]{216} = 6$ (dm). Vì thùng đựng không có nắp nên thùng gồm 4 mặt bên và 1 mặt đáy, mỗi mặt là một hình vuông cạnh 6 dm. Do đó diện tích bì cứng cần dùng là

$S = 5 \cdot 6^2 = 180\ (\mathrm{dm}^2)$.

A partial UI element showing a progress indicator or pagination component. It contains orange/yellow dots at the top (with one highlighted dot on the right side in orange), a green rectangular bar or progress element on the left side, and the number 63 displayed prominently.

BÀI TẬP

3.28. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{5 + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$;

c) $\frac{\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}}{2\sqrt{12}}$;

b) $\sqrt{\left(\sqrt{7}-2\right)^{2}}-\sqrt{63}+\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{2}}$;

d) $\frac{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}+1\right)^{3}}-1}{\sqrt{50}}$.

3.29. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3\sqrt{45} + \frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{245}$; b) $\frac{\sqrt{12} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{\sqrt{21} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + 1} + \sqrt{7}$; c) $\frac{3 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + \sqrt{3}\left(2\sqrt{3} - 1\right) + \sqrt{12}$; d) $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} - \frac{6}{\sqrt{6}}$.

3.30. Giả sử lực $F$ của gió khi thổi theo phương vuông góc với bề mặt cánh buồm của một con thuyền tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ của gió, hệ số tỉ lệ là 30. Trong đó, lực $F$ được tính bằng N (Newton) và tốc độ được tính bằng m/s.

a) Khi tốc độ của gió là 10 m/s thì lực $F$ là bao nhiêu Newton?

b) Nếu cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12 000 N thì con thuyền đó có thể đi được trong gió với tốc độ gió tối đa là bao nhiêu?

3.31. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{(-x-1)^3}$ ; b) $\sqrt[3]{8x^3-12x^2+6x-1}$ .

64

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III

A. TRẮC NGHIỆM

A. 2. B. −2. C. 2 và −2. D. $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$. 3.33. Căn bậc hai số học của 49 là A. 7. B. −7. C. 7 và −7. D. $\sqrt{7}$ và $-\sqrt{7}$.

3.34. Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{(4 - \sqrt{17})^3}$ ta được

A. $4 + \sqrt{17}$. B. $4 - \sqrt{17}$. C. $\sqrt{17} - 4$. D. $-4 - \sqrt{17}$.

3.35. Độ dài đường kính (mét) của hình tròn có diện tích 4 m² sau khi làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai bằng

A. 2,26. B. 2,50. C. 1,13. D. 1,12.

3.36. Một vật rơi tự do từ độ cao 396,9 m. Biết quãng đường chuyển động $S$ (mét) của vật phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) bởi công thức $S = 4,9t^2$. Vật chạm đất sau

A. 8 giây. B. 5 giây. C. 11 giây. D. 9 giây.

B. TỰ LUẬN

3.37. Không sử dụng MTCT, tính giá trị của biểu thức

3.38. Cho biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}$ ($x \ge 0$ và $x \ne 4$).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của $A$ tại $x = 14$.

3.39. Biết rằng nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn được tính bởi công thức $Q = I^2Rt$, trong đó $Q$ là nhiệt lượng tính bằng đơn vị Joule (J), $R$ là điện trở tính bằng đơn vị Ohm ($\Omega$), $I$ là cường độ dòng điện tính bằng đơn vị Ampe (A), $t$ là thời gian tính bằng giây (s). Dòng điện chạy qua một dây dẫn có $R = 10\ \Omega$ trong thời gian 5 giây. a) Thay dấu “?” trong bảng sau bằng các giá trị thích hợp.

I (A)	1	1,5	2
Q (J)	?	?	?

b) Cường độ dòng điện là bao nhiêu Ampe để nhiệt lượng toả ra trên dây dẫn đạt 800 J?

65

This is a Vietnamese mathematics textbook page showing Chapter IV (Chương IV) about 'Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông' (Metric Relations in Right Triangles), under the subject 'Hình Học Phẳng' (Plane Geometry). The page features a photograph of the Eiffel Tower in Paris with a geometric overlay showing a right triangle with angle α, distance d, and height h?, illustrating a real-world application of trigonometry. The page introduces Lesson 11 (Bài 11) about 'Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn' (Trigonometric Ratios of Acute Angles). The bottom section contains a two-column table with concepts and learning objectives.

Ta có thể xác định “góc dốc” $\alpha$ của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là $a$ và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang là $h$ không? (H.4.1). (Trong các tòa chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn $6^\circ$).

A technical drawing showing a right triangle. The hypotenuse is labeled 'a' and runs from the bottom-left vertex to the top-right vertex. The vertical side on the right is labeled 'h' and has a right angle marker at its base. The angle at the bottom-left vertex is labeled 'α'. The triangle has a very shallow angle α, making it appear as a long flat triangle. The figure is captioned 'Hình 4.1' below.

66

1 KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Xét góc nhọn $B$. Cạnh $AC$ gọi là cạnh đối của góc $B$, cạnh $AB$ gọi là cạnh kề của góc $B$ (H.4.2).

The image contains two geometric diagrams of right triangles. Hình 4.2 (Figure 4.2): A right triangle with vertices labeled B (bottom left), A (bottom right), and C (top right). The right angle is at vertex A, indicated by a small square. The sides are labeled as follows: the side BC (from B to C) is labeled 'canh huyền' (hypotenuse), the side CA (from C to A) is labeled 'canh đối của góc B' (side opposite to angle B), and the side BA (from B to A) is labeled 'canh kề của góc B' (side adjacent to angle B). Hình 4.3 (Figure 4.3): A right triangle with vertices labeled B (top left), A (bottom left), and C (bottom right). The right angle is at vertex A, indicated by a small square. No side labels are provided for this triangle. Both diagrams illustrate the concept of sides in a right triangle relative to a given angle (angle B in Figure 4.2).

Xét góc $C$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc $C$.

Khái niệm sin, côsin, tang, côtang của góc nhọn $\alpha$

HD1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và tam giác $A'B'C'$ vuông tại $A'$ có $\widehat{B} = \widehat{B'} = \alpha$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C'$;

b) $\frac{AC}{BC} = \frac{A'C'}{B'C'}$, $\frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'}$, $\frac{AC}{AB} = \frac{A'C'}{A'B'}$, $\frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}$.

Nhận xét. Trong Hình 4.4, các tam giác vuông có cùng một góc nhọn $\alpha$ là đồng dạng với nhau. Vì vậy các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền (cạnh kề và cạnh huyền), cạnh đối và cạnh kề (cạnh kề và cạnh đối) của góc nhọn $\alpha$ là như nhau, cho dù độ dài các cạnh đối (các cạnh kề) của góc $\alpha$ và các cạnh huyền có thể khác nhau với từng tam giác.

The drawing shows a right triangle with angle α at the bottom-left vertex. The hypotenuse extends from the bottom-left upward to the right at an angle. From two points along the hypotenuse, dashed vertical lines drop perpendicularly down to the horizontal base, each meeting the base at right angles (indicated by small square symbols). This illustrates the geometric concept of similar triangles or the consistent ratio of perpendicular heights to horizontal distances along a line making angle α with the horizontal, demonstrating the trigonometric properties of the angle α (tangent relationship).

Hình 4.4

A small rectangular badge or label with a light pink/salmon background containing the number 67 in dark text, with a pink vertical bar on the right side.

Cho góc nhọn $\alpha$. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có góc nhọn $B$ bằng $\alpha$ (H.4.5). Ta có:

– Tỉ số giữa cạnh đối của góc $\alpha$ và cạnh huyền gọi là sin của $\alpha$, kí hiệu $\sin \alpha$.

– Tỉ số giữa cạnh kề của góc $\alpha$ và cạnh huyền gọi là cosin của $\alpha$, kí hiệu $\cos \alpha$.

– Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc $\alpha$ gọi là tang của $\alpha$, kí hiệu $\tan \alpha$.

– Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc $\alpha$ gọi là côtang của $\alpha$, kí hiệu $\cot \alpha$.

Chú ý. Ta có: • $\sin \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$; $\cos \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$; • $\tan \alpha = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$; $\cot \alpha = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$. • $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$. sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất.

• $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\cot \alpha$ gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$.

Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm (H.4.6). Hãy tính các tỉ số lượng giác $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ với $\alpha = \widehat{B}$.

Giải

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B} = \alpha$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

$BC^2 = AC^2 + AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25$ nên $BC = 5$ (cm).

$\sin \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}, \tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}.$

The image contains a right triangle labeled with vertices B, A, and C. The right angle is at vertex A. The angle α is at vertex B. The side BA (horizontal, base) measures 3 cm, and the side AC (vertical) measures 4 cm. BC is the hypotenuse. Below the triangle is the label 'Hình 4.6'. There is also a speech bubble from a cartoon emoji character that reads: 'sin α còn được viết là sin B̂ hay sin B. Tương tự cho cos α, tan α và cot α.' This note explains that sin α can also be written as sin B̂ or sin B, and similarly for cos α, tan α, and cot α.

Luyện tập 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

Number

Giá trị lượng giác sin, cosin, tang, côtang của các góc 30°, 45°, 60°

HD2 Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $AB = AC = a$ (H.4.7a). a) Hãy tính $BC$ và các tỉ số $\frac{AB}{BC}$, $\frac{AC}{BC}$. Từ đó suy ra $\sin 45^\circ$, $\cos 45^\circ$. b) Hãy tính các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{AC}{AB}$. Từ đó suy ra $\tan 45^\circ$, $\cot 45^\circ$.

HD3 Xét tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $2a$. a) Tính đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ (H.4.7b). b) Tính $\sin 30^\circ$, $\cos 30^\circ$, $\sin 60^\circ$ và $\cos 60^\circ$. c) Tính $\tan 30^\circ$, $\cot 30^\circ$, $\tan 60^\circ$ và $\cot 60^\circ$.

The drawing shows an isosceles right triangle ABC. Vertex A is at the top with a right angle (90°) indicated by a small square symbol. Vertices B and C are at the bottom left and bottom right respectively, each with a 45° angle. The two equal sides AB and AC are both labeled 'a' and marked with single tick marks to indicate they are equal in length. The base BC is unlabeled. This is a 45-45-90 triangle. The figure is labeled 'Hình 4.7a' below.

The drawing shows a triangle ABC with vertex A at the top, B at the bottom left, and C at the bottom right. A perpendicular line is drawn from vertex A down to point H on the base BC, creating a right angle at H. The base BC is divided by H into two equal segments, each labeled 'a', making the total base length 2a. The right side AC is labeled '2a'. The angle at B is 60°, and the angle at A (between AH and AC) is 30°. There is also a right angle marker at vertex A between AB and AH. The figure is labeled 'Hình 4.7b' at the bottom.

Từ HĐ2 và HĐ3, ta có bảng sau:

α	30°	45°	60°
sin α	1/2	√2/2	√3/2
cos α	√3/2	√2/2	1/2
tan α	√3/3	1	√3
cot α	√3	1	√3/3

Ví dụ 2 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 30^\circ$ và $BC = a$ (H.4.8). Tính các cạnh $AB, AC$ theo $a$.

Giải

Ta có $\sin C = \frac{AB}{BC}$, suy ra $AB = BC \cdot \sin C = a \cdot \sin 30^\circ$, mà $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ nên $AB = \frac{a}{2}$.

A right triangle labeled with vertices A, B, and C. The right angle is at vertex A (bottom-left), indicated by a small square symbol. Vertex B is at the top-left, and vertex C is at the bottom-right. The hypotenuse BC is labeled 'a' and runs diagonally from B (top-left) to C (bottom-right). The angle at vertex C is marked as 30°. Side AC is the horizontal base, and side AB is the vertical leg. The caption below reads 'Hình 4.8'.

Tương tự, ta có $\cos C = \frac{AC}{BC}$, suy ra $AC = BC \cdot \cos C = a \cdot \cos 30^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

A small, low-resolution image showing what appears to be a soft, glowing orange or peach-colored circular shape, resembling a blurred light source or a soft-focus ball. The image has a warm, golden-orange hue with a slightly lighter center, fading to a deeper orange toward the edges. It could represent a sun, a light orb, or an abstract glowing object. No text is visible in the image.

Page number

Luyện tập 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{C} = 45^\circ$ và $AB = c$. Tính $BC$ và $AC$ theo $c$.

2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

HD4 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, có $\widehat{A} = \alpha$, $\widehat{B} = \beta$ (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc $\alpha$, $\beta$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý. Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau (H.4.9), khi đó: $\sin\alpha = \cos\beta$, $\cos\alpha = \sin\beta$, $\tan\alpha = \cot\beta$, $\cot\alpha = \tan\beta$.

The image contains two parts. The first part (top) is a geometric diagram labeled 'Hình 4.9' showing a right triangle with vertices A (bottom left), B (bottom right), and C (top). The right angle is marked at vertex C. The angle at vertex A is labeled α and the angle at vertex B is labeled β. The second part (bottom) shows a cartoon character (a blue square/rectangle with eyes, arms and legs) with a speech bubble containing the text: 'Hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.' which translates to 'Two complementary angles can be considered as two acute angles of a right triangle.' The diagram illustrates that angles α and β are complementary angles (summing to 90°) as they are the two acute angles of the right triangle ABC.

Ví dụ 3

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^\circ$: $\sin 60^\circ, \cos 75^\circ, \sin 52^\circ30', \tan 80^\circ, \cot 82^\circ$.

Ta có:

$\sin 60^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 30^{\circ}$;

$\cos 75^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 75^{\circ}) = \sin 15^{\circ}$;

$\sin 52^{\circ}30' = \cos (90^{\circ} - 52^{\circ}30') = \cos 37^{\circ}30'$;

$\tan 80^{\circ} = \cot (90^{\circ} - 80^{\circ}) = \cot 10^{\circ}$;

$\cot 82^{\circ} = \tan (90^{\circ} - 82^{\circ}) = \tan 8^{\circ}$.

The image shows a cartoon mascot character shaped like the mathematical Pi (π) symbol, colored in green, holding a pencil in one hand and a book in the other. Above the character is a speech bubble containing educational text in Vietnamese about angle measurement units.

Luyện tập 3

Hãy giải thích tại sao $\sin 35^\circ = \cos 55^\circ$, $\tan 35^\circ = \cot 55^\circ$.

A small square tile or badge with a light pink/salmon colored background and a darker pink/red left border stripe. It contains the number 70 in dark text.

A small circular image showing a bright yellow-orange sun or citrus fruit (likely an orange or lemon) with a glowing, radiant appearance against a white background. The object appears luminous with a warm golden-yellow color.

3 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Ví dụ 4

Dùng MTCT, tính sin 27°, cos 32°15', tan 52°12' và cot 35°23' (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải

Để tính	Bấm phím	Kết quả
sin 27°	sin 2 7 °'''' =	0,4539904997
cos 32°15'	cos 3 2 °'''' 1 5 °'''' =	0,8457278217
tan 52°12'	tan 5 2 °'''' 1 2 °'''' =	1,289192232
cot 35°23'	tan 3 5 °'''' 2 3 °'''' = x⁻¹ =	1,408003909

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được $\sin 27^\circ \approx 0,454$; $\cos 32^\circ15' \approx 0,846$; $\tan 52^\circ12' \approx 1,289$; $\cot 35^\circ23' \approx 1,408$.

Lưu ý, $\cot 35^\circ 23' = \frac{1}{\tan 35^\circ 23'}$.

Nhận xét. Để tính cot 35°23', ta có thể tính trực tiếp như trên, hoặc có thể tìm góc phụ với góc 35°23' là 54°37' rồi dùng MTCT tính tan 54°37' và suy ra kết quả.

Luyện tập 4

VỚI CUỘC SỐNG

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin 40°54';	b) cos 52°15';
c) tan 69°36';	d) cot 25°18'.

Chú ý. Sử dụng MTCT, ta còn có thể tìm được góc khi biết một trong các tỉ số lượng giác của góc đó.

Ví dụ 5

Dùng MTCT, tìm các góc (làm tròn đến phút) biết $\sin \alpha_1 = 0,3214$; $\cos \alpha_2 = 0,4321$; $\tan \alpha_3 = 1,2742$ và $\cot \alpha_4 = 1,5384$.

A small rectangular badge or label with the number 71 on the left side in dark text, and a pink/salmon colored square on the right side.

Giải

Biết	Bấm phím	Kết quả	Bấm tiếp ⋯⋯
sin α₁ = 0,3214	SHIFT sin 0 • 3 2 1 4 =	18,74761209	18°44' 51,4"
cos α₂ = 0,4321	SHIFT cos 0 • 4 3 2 1 =	64,39909458	64°23' 56,74"
tan α₃ = 1,2742	SHIFT tan 1 • 2 7 4 2 =	51,87495892	51°52' 29,85"
cot α₄ = 1,5384	SHIFT tan 1 • 5 3 8 4 x⁻¹ =	33,02491482	33°01' 29,69"

Làm tròn đến phút ta được $\alpha_1 \approx 18^\circ45'$; $\alpha_2 \approx 64^\circ24'$; $\alpha_3 \approx 51^\circ52'$; $\alpha_4 \approx 33^\circ01'$.

Chú ý. Để tìm góc $\alpha$ khi biết $\cot \alpha$, ta có thể tìm góc $(90^\circ - \alpha)$ (vì $\tan (90^\circ - \alpha) = \cot \alpha$) rồi suy ra $\alpha$.

Luyện tập 5 Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) $\sin \alpha = 0,3782$; b) $\cos \alpha = 0,6251$; c) $\tan \alpha = 2,154$; d) $\cot \alpha = 3,253$.

Vận dụng

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m. a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho người đi xe lăn không?

Tranh luận

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$, $B$ không đo trực tiếp được, chẳng hạn $A$ và $B$ là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm $C$ về phía bờ sông có chứa $B$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Ở bên bờ sông chứa $B$, người ta đo được $\widehat{ACB} = \alpha$ và $BC = a$ (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách $AB$ chưa? Nếu được, hãy tính $AB$, biết $\alpha = 55^\circ$, $a = 70$ m.

The diagram shows a geometric figure related to measuring the width of a river or obstacle using triangulation. On the left side, there is a right triangle with vertices C (top left), B (bottom), and an implied right angle at B. The angle α is marked at vertex C, and the side 'a' is labeled along the CB leg. From point C, a dashed line extends to the right toward point A, which is located on the far side of a vertical barrier (represented by a blue striped rectangle, likely a river or wall). Point B also has a dashed line connecting to point A, forming a triangle CAB. The right angle symbol is shown at B in the left triangle. The figure illustrates a method to calculate the distance to point A using the known angle α and side length a of the reference triangle.

Không thể tính được $AB$ vì trong tam giác vuông $ABC$, theo định lí Pythagore, phải biết được hai cạnh mới tính được cạnh thứ ba.

A cartoon character shaped like a blue square/cube with a face. The character has googly eyes with one hand raised near its head in a confused or surprised gesture, and the other hand pointing forward. It has thin legs wearing orange shoes. The character appears to be from an animated show, resembling a character from 'Gumball' (specifically the character named 'Bobert' or similar square-shaped character). The overall expression suggests surprise or confusion.

A cartoon image of a cheerful yellow round character (resembling a smiley face emoji) with arms raised in a happy gesture, wearing green shoes. The character has big eyes and a wide smile. Above the character is a speech bubble containing text in Vietnamese.

Em hãy cho biết ý kiến của mình.

72

BÀI TẬP

4.1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn $B$ và $C$ khi biết: a) $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm; b) $AC = 0,9$ cm, $AB = 1,2$ cm. 4.2. Cho tam giác vuông có một góc nhọn $60^\circ$ và cạnh kề với góc $60^\circ$ bằng $3$ cm. Hãy tính cạnh đối của góc này. 4.3. Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng $30^\circ$ và cạnh đối với góc này bằng $5$ cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác. 4.4. Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là $3$ và $\sqrt{3}$. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69). 4.5. a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn $45^\circ$: $\sin 55^\circ$, $\cos 62^\circ$, $\tan 57^\circ$, $\cot 64^\circ$.

b) Tính $\frac{\tan 25^\circ}{\cot 65^\circ}$, $\tan 34^\circ - \cot 56^\circ$.

4.6. Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba): a) sin 40°12'; b) cos 52°54'; c) tan 63°36'; d) cot 35°20'.

4.7. Dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng: a) $\sin x = 0,2368$; b) $\cos x = 0,6224$; c) $\tan x = 1,236$; d) $\cot x = 2,154$.

EM CÓ BIẾT? (Đọc thêm)

LỊCH SỬ RA ĐỜI CÁC TỪ sin, côsin, tang, côtang

Ở thế kỉ II, nhà thiên văn người Hy Lạp Ptolemy (85 – 165) đã nghiên cứu mối liên hệ giữa độ dài cung tròn và dây căng cung tròn đó. Sau đó, những nhà thiên văn người Hindu đã nghiên cứu mối liên hệ giữa bán cung và nửa dây, gọi dây căng cung là jiva. Nhà thiên văn người Ả Rập Al-Battani (850 – 929) đã phiên âm jiva thành djiba mà nghĩa đen là “nếp gấp”. Đến năm 1150, nhà phiên dịch người Ý Gerard de Cremone (1114 – 1187) dịch djiba sang tiếng Latinh thành sinus viết tắt là sin (trên hình: (O) là đường tròn bán kính bằng 1, P là điểm chính giữa của cung nhỏ MN, H là trung điểm của dây MN, khi đó sin MOP = HM).

The diagram shows a circle with center O. Several points are marked: M at the top of the circle, N at the bottom of the circle, P on the rightmost point of the circle, O at the center, and H between O and P on the horizontal diameter. Lines are drawn from O to M, O to N, and O to P (horizontal diameter). There is also a line from M to P and from N to P, forming triangles. A right angle symbol is shown at H, indicating that MH (or the line from M down to H) is perpendicular to OP. The segment MN appears to be a vertical chord passing through H, and HP is perpendicular to MN, with H being the foot of the perpendicular from M to OP.

Năm 1583, nhà vật lí và toán học người Đức Thomas Finck đã đưa vào từ “tang” (trong từ ngữ khoa học Ả Rập, chữ tang có nghĩa là bóng của một vật) và các kí hiệu sin.com, tan.com (chữ com là viết tắt của chữ complementary, ý nói góc phụ). Mãi 40 năm sau, người ta mới dùng kí hiệu côsin, cotang thay cho sin.com, tan.com. (theo Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, Pháp, 1992)

Page number