Bài 12

MỘT SỐ HỆ THỨC GIỮA CẠNH, GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ ỨNG DỤNG

Kiến thức, kĩ năng

• Giải thích một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

• Giải tam giác vuông.

• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Để đo chiều cao của một toà lâu đài (H.4.11), người ta đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $M$. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh $P'$ của toà lâu đài dưới góc nhọn $\alpha$. Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại điểm $N$, $NM = 20$ m, thì nhìn thấy đỉnh $P'$ dưới góc nhọn $\beta$ ($\beta < \alpha$). Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của toà lâu đài.

The diagram illustrates a geometric/trigonometric scenario set against a medieval castle background. There are two observation points N and M on the ground level, with corresponding elevated points N' and M' above them (likely representing the height of catapult operators or measurement devices). From both N' and M', lines of sight are drawn toward point P' which is at the top of the castle tower. The horizontal reference line passes through H (at the base of the castle wall at the same height as N' and M') and extends to x. Point P is at the base of the castle wall at ground level, directly below P'. The angle α is formed at M' between the line of sight to P' and the horizontal. The angle β is formed at N' between the line of sight to P' and the horizontal. The diagram appears to be illustrating a trigonometric problem involving two angles of elevation (α and β) from two different positions (M and N) to determine the height P'H or distance to the castle tower P. The setup suggests a classical surveying or indirect measurement problem using two catapults positioned at different distances from the castle.

Hình 4.11

1 HỆ THỨC GIỮA CẠNH HUYỀN VÀ CẠNH GÓC VUÔNG

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, cosin của các góc nhọn HD1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh huyền $a$ và các cạnh góc vuông $b$, $c$ (H.4.12). a) Viết các tỉ số lượng giác sin, cosin của góc $B$ và góc $C$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$. b) Tính mỗi cạnh góc vuông $b$ và $c$ theo cạnh huyền $a$ và các tỉ số lượng giác nói trên của góc $B$ và góc $C$. Hình 4.12

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Chú ý. Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.12), ta có: $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$; $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$.

A small rectangular label or badge with a pink/salmon colored left border and a light pink/white background containing the number 74.

Ví dụ 1

Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 30° (H.4.13). Hỏi sau 1,2 phút, máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng?

Giải

A right triangle diagram labeled with vertices A (bottom left), B (top right), and H (bottom right). The right angle is at H, forming a vertical side BH and a horizontal side AH. A jet aircraft is shown flying along the hypotenuse AB at a speed of 500 km/h, at an angle of 30° from the horizontal at point A. The diagram illustrates a trigonometry problem involving an aircraft climbing at a 30-degree angle with a speed of 500 km/h, used to calculate altitude or distance components.

Giả sử trong Hình 4.13, $AB$ là đoạn đường máy bay bay lên trong 1,2 phút thì $BH$ chính là độ cao máy bay đạt được sau 1,2 phút đó. Ta có 1,2 phút = $\frac{1}{50}$ giờ nên $AB = 500 \cdot \frac{1}{50} = 10$ (km). Tam giác $ABH$ vuông tại $H$, có $\widehat{A} = 30^{\circ}$. Theo Định lí 1, ta có $BH = AB \cdot \sin A = 10 \cdot \sin 30^{\circ} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ (km). Vậy sau 1,2 phút, máy bay lên cao được 5 km.

Luyện tập 1

1. Một chiếc thang dài 3 m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 65° (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14)?

The image shows a ladder leaning against a brick wall at an angle. The ladder is yellow and is positioned against the corner where two brick walls meet. The angle between the ladder and the ground is marked as 65 degrees. The ground appears to be dirt or soil, and there is some grass visible at the base of the walls.

2. Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc α bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút)? (H.4.15).

HỨC NG

The diagram illustrates a right triangle formed by a vertical structure (such as a cliff or wall) and a diagonal line of sight to an object underwater or at a distance. The vertical side of the triangle is labeled 250 m, representing the height or depth. The hypotenuse (diagonal dashed line) is labeled 320 m, representing the line of sight distance to an object (depicted as a fish or marine creature). The angle at the bottom left of the triangle is labeled 'a', representing the angle of depression or elevation. The right angle is indicated at the top left corner of the triangle. The scene is set against a water/underwater background with green ground at the top and bottom.

2 HỆ THỨC GIỮA HAI CẠNH GÓC VUÔNG

Hình 4.15

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang của các góc nhọn HD2 Xét tam giác $ABC$ trong Hình 4.16. a) Viết các tỉ số lượng giác tang, côtang của góc $B$ và góc $C$ theo $b, c$. b) Tính mỗi cạnh góc vuông $b$ và $c$ theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác nói trên của góc $B$ và góc $C$.

A technical drawing of a triangle with vertices labeled A, B, and C. Vertex A is at the top and has a right angle marker (small square), indicating a 90-degree angle. Vertex B is at the bottom left, and vertex C is at the bottom right. The sides are labeled as follows: side 'c' connects vertices A and B (left side), side 'b' connects vertices A and C (right side), and side 'a' connects vertices B and C (bottom side, the hypotenuse). This is a right triangle with the right angle at vertex A.

Hình 4.16

Number

Định lí 2

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Chú ý. Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.16), ta có: $b = c \cdot \tan B = c \cdot \cot C$; $c = b \cdot \tan C = b \cdot \cot B$.

Ví dụ 2

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34° và bóng của một toà tháp trên mặt đất dài 8,6 m (H.4.17). Tính chiều cao của toà tháp đó (làm tròn đến mét).

Giải

Ta nhận thấy đường cao $h$ của tháp đối diện với góc $34^\circ$ (góc tạo bởi tia nắng mặt trời và bóng của tháp trên mặt đất).

The drawing shows a right triangle formed by the shadow of a lighthouse. The angle at the base left corner is 34°. The horizontal base of the triangle measures 8,6 m, represented by a dashed line. The vertical side on the right is labeled 'h', representing the height of the lighthouse. The hypotenuse extends from the base angle up to the top of the lighthouse. A sun icon is shown near the top right, indicating the light source casting the shadow. The lighthouse is illustrated on the right side of the triangle. The drawing is a trigonometry problem where the height h of the lighthouse can be calculated using the tangent of 34°: h = 8.6 × tan(34°).

Hình 4.17

Theo Định lí 2, ta có $h = 8,6 \cdot \tan 34^\circ \approx 6$ (m). Vậy chiều cao của tháp là khoảng 6 m.

Luyện tập 2

Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 40° (H.4.18).

A right triangle diagram illustrating a tree height problem. The triangle has a 40° angle at the bottom left vertex. The base of the triangle (horizontal side) is labeled 25 m, representing the shadow or horizontal distance on the ground. The vertical side of the triangle represents the height of a tree, which is drawn on the right side of the diagram. A sun is depicted at the top right, indicating the light source casting a shadow. The hypotenuse connects the bottom left angle to the top of the tree. The figure is labeled 'Hình 4.18' at the bottom, suggesting it is from a Vietnamese mathematics textbook. The diagram is used to calculate the height of the tree using trigonometry, given the angle of elevation (40°) and the horizontal distance (25 m).

3 GIẢI TAM GIÁC VUÔNG

Ví dụ 3 Cho tam giác vuông $ABC$ với các cạnh góc vuông $AB = 5$, $AC = 8$ (H.4.19). Hãy tính cạnh $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất) và các góc $B$, $C$ (làm tròn đến độ). Giải. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Cách 1. Theo định lí Pythagore, ta có: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} \approx 9,4$. Ta có $\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{8} = 0,625$. Từ đó tìm được $\widehat{C} \approx 32^\circ$, suy ra $\widehat{B} = 90^\circ - \widehat{C} \approx 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$.

A right triangle labeled with vertices C (top left), A (bottom left), and B (bottom right). The right angle is at vertex A, indicated by a small square symbol. The side CA (vertical leg) has a length of 8, and the side AB (horizontal leg) has a length of 5. The hypotenuse runs from C to B. There is also a small angle marker at vertex C and at vertex B. The figure is labeled 'Hình 4.19' below the drawing.

76

Cách 2. Sau khi tìm được $\widehat{C} \approx 32^\circ$, ta tính cạnh $BC$.

Ta có $\sin 32^\circ \approx \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{BC}$, suy ra $BC \approx \frac{5}{\sin 32^\circ} \approx 9,4$.

Luyện tập 3

Cho tam giác vuông $ABC$ có cạnh góc vuông $AB = 4$, cạnh huyền $BC = 8$. Tính cạnh $AC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) và các góc $B$, $C$ (làm tròn đến độ).

Ví dụ 4 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$, $\widehat{B} = 42^\circ$ (H.4.20). Tính góc $C$ và các cạnh $AC$, $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Giải

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Ta có: $\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$;

$AC = AB \cdot \tan B = 3 \cdot \tan 42^\circ \approx 2,701$.

Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\cos B = \frac{AB}{BC}$, suy ra $BC = \frac{AB}{\cos B} = \frac{3}{\cos 42^\circ} \approx 4,037$.

Hình 4.20

Giải tam giác vuông là gì?

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

Ví dụ 3, Luyện tập 3 và Ví dụ 4 là những bài toán Giải tam giác vuông.

1. Hãy nêu cách giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi biết hai cạnh $AB = c$, $AC = b$ hoặc $AB = c$, $BC = a$ và không sử dụng định lí Pythagore (H.4.21).

2. Hãy nêu cách giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi biết cạnh góc vuông $AB$ (hoặc cạnh huyền $BC$) và góc $B$.

Hình 4.21

Luyện tập 4

Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $BC = 9$, $\widehat{C} = 53^\circ$.

Ứng dụng Giải bài toán ở tình huống mở đầu với $\alpha = 27^\circ$ và $\beta = 19^\circ$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

77

BÀI TẬP

4.8. Giải tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, trong các trường hợp (góc làm tròn đến độ, độ dài cạnh làm tròn đến chữ số hàng đơn vị):

a) $a = 21$, $b = 18$; b) $b = 10$, $\widehat{C} = 30^\circ$; c) $c = 5$, $b = 3$.

4.9. Tính góc nghiêng $\alpha$ của thùng xe chở rác trong Hình 4.22 (làm tròn đến độ).

The image contains two related diagrams illustrating a geometric/trigonometric problem. On the left, there is a dump truck with its cargo bed raised at an angle α. The bed has a length of 4 m and the horizontal distance from the pivot point to the front of the truck bed base is 5 m. The angle α is formed between the raised bed and the horizontal. On the right, there is a rectangular building/warehouse with a length of 15 m. At the top left corner, point A is marked, and at the top right corner, point B is marked. A slanted line goes from point A down to point B along the top of the building, forming an angle α with the horizontal. The height difference at point A is labeled 0,9 m. The two diagrams are connected by the same angle α, suggesting that the angle of the truck bed is being applied or compared to the slope of the building roof, linking the two geometric situations.

Hình 4.22

Hình 4.23

4.10. Tìm góc nghiêng $\alpha$ và chiều rộng $AB$ của mái nhà kho trong Hình 4.23 (góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến dm).

4.11. Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $2\sqrt{3}$ và 2.

4.12. Cho hình thang $ABCD$ ($AD // BC$) có $AD = 16$ cm, $BC = 4$ cm và $\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{ACD} = 90^\circ$. a) Kẻ đường cao $CE$ của tam giác $ACD$. Chứng minh $\widehat{ADC} = \widehat{ACE}$. Tính sin của các góc $\widehat{ADC}$, $\widehat{ACE}$ và suy ra $AC^2 = AE \cdot AD$. Từ đó tính $AC$. b) Tính góc $D$ của hình thang.

4.13. Một người đứng tại điểm $A$, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm $B$ là 1,2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương $B$ của ngọn cây (cây mọc thẳng đứng, có gốc ở tại điểm $C$ cách $B$ là 4,8 m, $B$ nằm giữa $A$ và $C$). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65 m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).

This is a geometric diagram illustrating a method to measure the height of a tree using similar triangles. A person standing at point B (which is 1,2 units from point A) has a height of 1,65 units. The person is looking up at the top of a tree located at point C. The horizontal distance from B to C is 4,8 units. A line is drawn from the base near the person's feet (at ground level near B) up to the top of the tree, forming a triangle. The diagram shows two similar triangles: one formed by the person's height and their position, and a larger one formed by the tree and the total horizontal distance. Points A, B, and C are all on the ground level, with A being the leftmost point, B being 1,2 units from A, and C being 4,8 units from B at the base of the tree. The setup is used to calculate the tree's height using the proportion: person's height / AB = tree's height / BC.

A small square badge or label with a light pink/salmon colored background and a darker pink/red left border stripe. It contains the number 78 in dark text.

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm.

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$.

b) Từ kết quả câu a) suy ra các tỉ số lượng giác của góc $C$.

Giải (H.4.25)

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Theo định lí Pythagore, ta có $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$, suy ra $BC = 13$ cm.

Ta có: $\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$, $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$, $\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{5}$, $\cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12}$.

b) Do $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$ nên $\sin C = \cos B = \frac{5}{13}$, $\cos C = \sin B = \frac{12}{13}$, $\tan C = \cot B = \frac{5}{12}$, $\cot C = \tan B = \frac{12}{5}$.

Ví dụ 2

Một bức tường đang xây dở có dạng hình thang vuông $ABCD$, vuông góc ở $A$ và $D$, $AB = 1\text{ m}$, $CD = 4\text{ m}$, $AD = 6\text{ m}$.

a) Hỏi góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $BC$ và mặt đất $AD$ có số đo xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến phút)? (H.4.26)

b) Tính độ dài cạnh $BC$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải

a) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AD$ và $BC$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AD$ (mặt đất) cắt $CD$ ở $E$ thì khi đó $\widehat{EBC} = \widehat{DIC} = \alpha$ (hai góc đồng vị).

Tứ giác $ABED$ có $BE // AD$, $AB // DE$, $\widehat{A} = 90^\circ$ nên $ABED$ là hình chữ nhật. Do đó $BE = AD = 6$ m, $EC = CD - ED = 4 - 1 = 3$ (m).

Xét $\triangle BCE$ vuông tại $E$, ta có $\tan \alpha = \tan \widehat{EBC} = \frac{EC}{BE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Từ đó tính được $\alpha \approx 26^\circ 34'$.

b) Cách 1. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $BEC$ vuông tại $E$, ta có: $BC^2 = BE^2 + EC^2 = 6^2 + 3^2 = 45$. Suy ra $BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,7$ (m).

Cách 2. Tam giác $BEC$ vuông tại $E$ nên $EC = BC \cdot \sin \alpha$, suy ra $BC = \frac{EC}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 26^\circ 34'} \approx 6,7$ (m).

Number

BÀI TẬP

4.14. Một cuốn sách khổ $17 \times 24$ cm, tức là chiều rộng 17 cm, chiều dài 24 cm. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường chéo và cạnh 17 cm. Tính $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) và tính số đo $\alpha$ (làm tròn đến độ).

4.15. Cho tam giác $ABC$ có chân đường cao $AH$ nằm giữa $B$ và $C$. Biết $HB = 3$ cm, $HC = 6$ cm, $\widehat{HAC} = 60^\circ$. Hãy tính độ dài các cạnh (làm tròn đến cm), số đo các góc của tam giác $ABC$ (làm tròn đến độ).

The diagram illustrates a geometric scenario involving a body of water (likely a river or canal) viewed from the side. There are two horizontal bands of green (representing banks or shores) at the top and bottom of the image, with blue water in between. A diagonal line extends from the bottom-left corner to the top-right area, forming a 40° angle with the bottom horizontal surface. At the top, the same line forms a 40° angle with the top horizontal surface (measured from the dashed vertical line). A dashed vertical line labeled 'd' runs from the top bank down to the bottom bank on the right side, representing the depth or width of the water body. A horizontal double-headed arrow at the bottom indicates the horizontal distance. The two 40° angles suggest that the diagonal line makes equal angles with both the top and bottom surfaces, which is consistent with a reflection or a geometry/trigonometry problem involving the width or depth of the water.

4.16. Tìm chiều rộng $d$ của dòng sông trong Hình 4.27 (làm tròn đến m).

4.17. Tính các số liệu còn thiếu (dấu "?") ở Hình 4.28, với góc làm tròn đến độ, với độ dài làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

50 m

The image shows four right triangle technical drawings labeled a), b), c), and d), each requiring calculation of unknown values marked with '?'. Drawing a) shows a right triangle with a 40° angle at bottom left, base of 3, and unknown vertical side marked with '?'. Drawing b) shows a rectangle with a diagonal of 10 and one side of 7, with an unknown angle marked '?' at the bottom right corner. Drawing c) shows a right triangle with a vertical leg of 5, hypotenuse of 7, and unknown angle '?' at the bottom left. Drawing d) shows a more complex figure with a 35° angle, sides of 2 and 3, and two unknown values marked '?' - one for a vertical segment and one for a horizontal segment. All figures are geometric problems requiring trigonometric calculations.

4.18. Một bạn muốn tính khoảng cách giữa hai địa điểm $A$, $B$ ở hai bên hồ nước. Biết rằng các khoảng cách từ một điểm $C$ đến $A$ và đến $B$ là $CA = 90\text{ m}$, $CB = 150\text{ m}$ và $\widehat{ACB} = 120^\circ$ (H.4.29). Hãy tính $AB$ giúp bạn.

The drawing shows a geometric problem involving a pond. There is a triangle formed by points A, B, C, and H. Point H is at the bottom right, point A is at the top right, point C is at the bottom middle, and point B is at the bottom left. The right angle is at H, with AH = 90 m (vertical side). The distance BC = 150 m (horizontal base). The angle at C between the line CB and the line CA (going toward B across the pond) is 120°. A dashed line goes from B across the pond to C, indicating the distance across the pond that needs to be calculated. The triangle ACH is a right triangle with the right angle at H, AH = 90 m. The angle BCA = 120°, meaning the angle ACH = 60° (since BCH is a straight line). The figure includes trees and a pond illustration to provide real-world context for the geometry problem.

Hình 4.29

4.19. Mặt cắt ngang của một đập ngăn nước có dạng hình thang $ABCD$ (H.4.30). Chiều rộng của mặt trên $AB$ của đập là 3 m. Độ dốc của sườn $AD$, tức là $\tan D = 1,25$. Độ dốc của sườn $BC$, tức là $\tan C = 1,5$. Chiều cao của đập là 3,5 m. Hãy tính chiều rộng $CD$ của chân đập, chiều dài của các sườn $AD$ và $BC$ (làm tròn đến dm).

A technical drawing of a trapezoid ABCD. The top side AB measures 3 m and is the shorter parallel side. A vertical line from A to the bottom base DC measures 3,5 m (the height of the trapezoid), indicated with a right angle symbol at the base. The trapezoid has vertex A at top-left, B at top-right, C at bottom-right, and D at bottom-left. The bottom side DC is longer than the top side AB. A right angle is marked at the foot of the height on DC. The figure is labeled 'Hình 4.30' below.

4.20. Trong một buổi tập trận, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu di chuyển theo đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 21° để lặn xuống (H.4.31).

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200 m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển? (làm tròn đến m).

b) Giả sử tốc độ của tàu là 9 km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 m (tức là cách mặt nước biển 200 m)?

The diagram shows a right triangle formed by three points: A (top left), B (top right), and H (bottom right). The line AB represents the sea surface ('Mặt biển') and is horizontal. Point B is at the top right with a right angle marker, indicating that BH is perpendicular to AB. Point H is below B, representing a submarine or underwater object (indicated by a submarine icon). A diagonal line goes from A down to H, forming an angle of 21° at point A between the sea surface line AB and the line AH. The triangle ABH has a right angle at B, with the angle at A being 21°.

Hình 4.31

Number

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

A. TRẮC NGHIỆM

4.21. Trong Hình 4.32, $\cos \alpha$ bằng A. $\frac{5}{3}$. B. $\frac{3}{4}$. C. $\frac{3}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.

Hình 4.32

4.22. Trong tam giác $MNP$ vuông tại $M$ (H.4.33), $\sin \widehat{MNP}$ bằng A. $\frac{PN}{NM}$. B. $\frac{MP}{PN}$. C. $\frac{MN}{PN}$. D. $\frac{MN}{MP}$.

Hình 4.33

4.23. Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (H.4.34), $\tan B$ bằng A. $\frac{AB}{AC}$. B. $\frac{AC}{AB}$. C. $\frac{AB}{BC}$. D. $\frac{BC}{AC}$.

Hình 4.34

4.24. Với mọi góc nhọn $\alpha$, ta có A. $\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$. B. $\tan (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$. C. $\cot (90^\circ - \alpha) = 1 - \tan \alpha$. D. $\cot (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

4.25. Giá trị $\tan 30^\circ$ bằng A. $\sqrt{3}$. B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$. C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$. D. 1.

B. TỰ LUẬN

4.26. Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và cosin của góc nhọn lớn hơn. 4.27. Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc $\alpha$ giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).

The drawing shows a tent structure from two perspectives. On the left is a 3D view of a camping tent with a triangular cross-section. The tent has a height of 1,8 m and a base width of 4,4 m. The angle α is marked at the bottom right corner where the slanted roof meets the ground. On the right is a 2D cross-sectional diagram of the same tent, showing a triangle with a vertical dashed line representing the height of 1,8 m, a horizontal base of 4,4 m, and the angle α at the bottom right corner. The triangle has tick marks on the two equal slanted sides indicating they are equal in length, suggesting an isosceles triangle. A right angle symbol is shown at the base of the height line. The figure is labeled 'Hinh 4.35' at the bottom.

Hình 4.35

4.28. Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc 20° và chắn ngang lối đi một đoạn 5 m (H.4.36). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

The diagram shows a sequence of a tree falling over time, illustrated as multiple overlapping positions of the same tree. The tree starts at a nearly horizontal position on the left and progressively rises to a more upright angle. The tree's trunk is anchored at the base on the left side, and a rope or cable connects the top of the tree to a vertical post on the right side. The angle between the tree trunk (in its initial position) and the ground is marked as 20°. The horizontal distance between the base of the tree and the vertical support post is labeled as 5 m. The diagram appears to illustrate a physics or mechanics problem involving a falling or rotating tree being stopped or supported by a cable attached to a post.

Hình 4.36

4.29. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có $\widehat{B} = \alpha$ (H.4.37).

a) Hãy viết các tỉ số lượng giác $\sin \alpha$, $\cos \alpha$.

b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Hình 4.37

4.30. ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?

Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene 800 km, Eratosthenes thấy một tháp cao 25 m có bóng trên mặt đất dài 3,1 m.

This is a scientific diagram illustrating the geometric relationship between the Sun, Earth, and shadow/light angles. The diagram shows a globe (Earth) with several labeled points: O is the center of the Earth, A and B are two points on the Earth's surface close together (with a small tower or obelisk structure between them), H is a point above A and B (likely representing the top of a vertical reference or the zenith direction), and S is a point on the Earth's surface slightly to the right and below A and B. Two parallel arrows extend from the Sun (shown in the upper right as a yellow circle with rays) toward the Earth, indicating incoming sunlight rays. One ray points toward H/A area and another toward S. Dashed lines connect O to B, O to A, and O to S, showing the radii of the Earth to these surface points. The diagram appears to illustrate Eratosthenes' method of measuring the Earth's circumference using shadow angles at two different locations (A/B and S) at the same time, with the Sun's rays being parallel.

Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.38, điểm $O$ là tâm Trái Đất, điểm $S$ tượng trưng cho thành phố Syene, điểm $A$ tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm $H$ là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng $AB$).

82

This is a textbook chapter opening page for a Vietnamese mathematics textbook. The page introduces Chapter V on 'Đường Tròn' (Circle/Round Path) under the subject of 'Hình Học Phẳng' (Plane Geometry). The central image shows an ornate circular decorative medallion or relief carving, likely from a Vietnamese temple or historical building, featuring intricate concentric circular patterns with detailed engravings of animals, plants, and geometric designs, with a sun motif at the center. The background shows a brick wall texture. The page also introduces Lesson 13 titled 'Mở Đầu Về Đường Tròn' (Introduction to Circles).

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Đường tròn, tâm, bán kính • Tâm đối xứng • Trục đối xứng	• Nhận biết một điểm thuộc hay không thuộc một đường tròn. • Nhận biết hai điểm đối xứng nhau qua một tâm, qua một trục. • Nhận biết tâm đối xứng và trục đối xứng của đường tròn.

Bạn Oanh có một mảnh giấy hình tròn nhưng không còn dấu vết của tâm. Theo em, Oanh làm thế nào để tìm lại được tâm của hình tròn đó.

1 ĐƯỜNG TRÒN

Đường tròn, điểm thuộc đường tròn

Ở lớp dưới các em đã biết cách dùng compa để vẽ đường tròn. Vậy đường tròn là gì? Ta định nghĩa:

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ($R > 0$), kí hiệu là $(O; R)$, là hình gồm tất cả các điểm cách điểm $O$ một khoảng bằng $R$.

A small square tile or label with a pink/salmon colored background containing the number 83 in dark text.

• Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm $O$ là $(O)$.

• Nếu $A$ là một điểm của đường tròn $(O)$ thì ta viết $A \in (O)$. Khi đó, ta còn nói đường tròn $(O)$ đi qua điểm $A$, hay điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$.

Nhận xét

1. Trên Hình 5.1, ta thấy điểm A nằm trên, điểm C nằm trong và điểm B nằm ngoài đường tròn (O). Một cách tổng quát, ta có:

– Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R;

– Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R;

The diagram shows a circle with center O and radius R. Point A is on the circle in the upper right area. Point B is outside the circle to the right. Point C is on the line segment OB, between O and B, appearing to be on the circle's boundary or inside it. A line segment labeled R is drawn from O to A, representing the radius. A line is drawn from O through C to B, extending beyond the circle. The figure illustrates geometric relationships between a circle's center, a point on the circle (A), and an external point (B), with C being an intermediate point on the line OB.

– Điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; R)$ nếu $OM > R$.

2. Hình tròn tâm $O$ bán kính $R$ là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn $(O;R)$.

Ví dụ 1

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh rằng đường tròn $(O; OA)$ đi qua $B$.

Giải (H.5.2)

Vì $O$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên $OB = OA$. Do đó $B \in (O; OA)$, nói cách khác, đường tròn $(O; OA)$ đi qua $B$.

Chú ý. Ở lớp dưới, ta đã biết đoạn $AB$ trong Ví dụ 1 là một đường kính của đường tròn $(O)$. Do đó $(O)$ còn gọi là đường tròn đường kính $AB$.

Luyện tập 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Chứng minh rằng điểm $A$ thuộc đường tròn đường kính $BC$.

Vận dụng 1

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(3; 0)$, $B(-2; 0)$, $C(0; 4)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $(O; 3)$?

number

2 TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Đối xứng tâm và đối xứng trục

1. Đối xứng tâm (H.5.3)

Hai điểm $M$ và $M'$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $I$ (hay qua tâm $I$) nếu $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MM'$.

Chẳng hạn, nếu $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ thì $OA = OC$ nên $A$ và $C$ đối xứng với nhau qua $O$. Tương tự, $B$ và $D$ đối xứng với nhau qua $O$.

$M$ $I$ $M'$

$a)$

$B$ $C$

$A$ $D$ $O$

$b)$

Hình 5.3

2. Đối xứng trục (H.5.4)

Hai điểm $M$ và $M'$ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng $d$ (hay qua trục $d$) nếu $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MM'$.

Chẳng hạn, nếu $AH$ là đường cao trong tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $AH$ cũng là đường trung trực của $BC$, nên $B$ và $C$ đối xứng với nhau qua $AH$.

$d$

$M$ $H$ $M'$

$a)$

$A$

$B$ $H$ $C$

$b)$

Hình 5.4

Tâm và trục đối xứng của đường tròn HD Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc đường tròn (O) thì: a) Điểm đối xứng với nó qua tâm O cũng thuộc (O). b) Điểm đối xứng với nó qua một đường thẳng d tùy ý đi qua O cũng thuộc (O). Khi đó ta nói O là tâm đối xứng của đường tròn (O); d là trục đối xứng của đường tròn (O). Tổng quát, ta có: • Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó. • Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

A cartoon image of a smiling yellow circle character (resembling an emoji) with eyes, a big smile, arms raised up, and small green feet. The character has a speech bubble above it containing text in Vietnamese.

Number

Ví dụ 2

Ví dụ 2 Cho điểm $M$ nằm trên đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Sử dụng tính đối xứng của $(O)$, hãy nêu cách tìm: a) Điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$; b) Điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $AB$. Giải (H.5.5) a) Do $O$ là tâm đối xứng của $(O)$ nên điểm $N$ đối xứng với điểm $M$ qua tâm $O$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường thẳng $OM$. Vậy $N$ là giao điểm (khác $M$) của $(O)$ với đường thẳng $OM$. b) Do $AB$ là trục đối xứng của $(O)$ nên điểm $P$ đối xứng với điểm $M$ qua $AB$ phải vừa thuộc $(O)$, vừa thuộc đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$. Vậy $P$ là giao điểm (khác $M$) của $(O)$ với đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $AB$.

Luyện tập 2

Cho đường tròn tâm $O$ và hai điểm $A, B$ thuộc $(O)$. Gọi $d$ là đường trung trực của đoạn $AB$. Chứng minh rằng $d$ là một trục đối xứng của $(O)$.

Vận dụng 2

Trở lại tình huống mở đầu, bằng cách gấp đôi mảnh giấy hình tròn theo hai cách khác nhau, Oanh có thể tìm lại được tâm của hình tròn. Em hãy làm thử xem.

BÀI TẬP

5.1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $M(0; 2)$, $N(0; -3)$ và $P(2; -1)$. Vẽ hình và cho biết trong các điểm đã cho, điểm nào nằm trên, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm ngoài đường tròn $(O; \sqrt{5})$? Vì sao?

5.2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Chứng minh rằng các điểm $A, B, C$ thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

5.3. Cho đường tròn (O), đường thẳng d đi qua O và điểm A thuộc (O) nhưng không thuộc d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua d; C và D lần lượt là điểm đối xứng với A và B qua O. a) Ba điểm B, C và D có thuộc (O) không? Vì sao? b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình chữ nhật. c) Chứng minh rằng C và D đối xứng với nhau qua d.

5.4. Cho hình vuông $ABCD$ có $E$ là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm $A$, $B$, $C$ và $D$. Xác định tâm đối xứng và chỉ ra hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn ở câu a, biết rằng hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

number