Bài 14

CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

Khái niệm, thuật ngữ • Cung, dây cung • Đường kính, nửa đường tròn • Góc ở tâm, cung bị chắn • Số đo cung

Kiến thức, kĩ năng • Nhận biết cung, dây cung, đường kính của đường tròn và quan hệ giữa độ dài dây và đường kính. • Nhận biết góc ở tâm, cung bị chắn. • Nhận biết và xác định số đo của một cung.

Trong các cuộc thi đấu thể thao, người ta thường tổ chức thi bắn cung. Thuở xưa, cây cung được làm ra bằng cách buộc một sợi dây (gọi là dây cung) vào hai đầu của một đoạn tre (hoặc gỗ) có tính đàn hồi cao. Đoạn tre bị kéo căng, cong lại tạo nên hình ảnh của một phần đường tròn, đó cũng chính là hình ảnh của “cung” trong Toán học. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về những vấn đề liên quan đến khái niệm này.

1 DÂY VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Khái niệm dây và đường kính của đường tròn • Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn. • Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R. Trên Hình 5.6, CD là một dây, AB là một đường kính của (O).

Hình 5.6

Quan hệ giữa dây và đường kính HD Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R) (H.5.7). Dựa vào quan hệ giữa các cạnh của tam giác AOB, chứng minh AB < 2R.

Hình 5.7

Định lí Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Ví dụ 1

Tứ giác lồi $ABCD$ có $\widehat{BAC} = \widehat{BDC} = 90^\circ$. Chứng minh bốn điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn và $AD < BC$.

Giải (H.5.8)

Gọi $O$ là trung điểm của đoạn $BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{BAC} = 90^\circ$) nên đường trung tuyến $AO$ bằng nửa cạnh huyền, nghĩa là $OA = OB = OC = \frac{BC}{2}$. Do đó điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$ đường kính $BC$.

Tương tự, bằng cách xét tam giác $DBC$ ta cũng suy ra điểm $D$ thuộc đường tròn $(O)$. Vậy $AD$ là một dây (không đi qua tâm) của đường tròn $(O)$. Áp dụng định lí trên ta có $AD < BC$.

Luyện tập 1

Cho đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh rằng với điểm $A$ bất kì (khác $B$ và $C$) nằm trên đường tròn, ta đều có $BC < AB + AC < 2BC$.

2 GÓC Ở TÂM, CUNG VÀ SỐ ĐO CỦA MỘT CUNG

Khái niệm góc ở tâm và cung tròn

Cho hai điểm $A$ và $B$ cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm $A$ và $B$ gọi là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đó.

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Trên Hình 5.9 ta có hai cung, kí hiệu là $\widehat{AmB}$ và $\widehat{AnB}$ nhưng chỉ có một góc ở tâm là $\widehat{AOB}$.

Chú ý

• Khi góc $AOB$ không bẹt thì cung nằm trong góc $AOB$ gọi là cung nhỏ (trên Hình 5.9, $\widehat{AmB}$ là cung nhỏ). Khi đó $\widehat{AmB}$ còn có thể kí hiệu gọn là $\widehat{AB}$. Cung còn lại, $\widehat{AnB}$ gọi là cung lớn. Khi góc $AOB$ bẹt thì mỗi cung $AB$ được gọi là một nửa đường tròn. • Ta còn nói góc $AOB$ chắn cung $AB$ hay cung $AB$ bị chắn bởi góc $AOB$.

Number

Ví dụ 2

Cho ba điểm $A$, $B$ và $C$ thuộc đường tròn $(O)$ như Hình 5.10. a) Tìm các góc ở tâm có hai cạnh đi qua hai trong ba điểm $A$, $B$, $C$. b) Tìm các cung có hai mút là hai trong ba điểm $A$, $B$, $C$.

Giải

The diagram shows a circle labeled 'a' with four points marked on or inside it. Points A, B, and C are located on the circumference of the circle, while point O is located inside the circle near the center. Multiple line segments connect these points: C is connected to A, C is connected to B, C is connected to O, A is connected to B, A is connected to O, and B is connected to O. This forms a geometric figure where the interior point O is connected to all three circumference points (A, B, C), and the circumference points are also interconnected, creating a triangular shape (ABC) with internal lines from O to each vertex. Point A is at the top, C is on the left side, B is on the right side, and O is roughly in the center-lower area of the triangle.

a) Các góc ở tâm cần tìm là $\widehat{AOB}$, $\widehat{BOC}$ và $\widehat{COA}$. b) • Các cung có hai mút $A$, $B$ là $\widehat{AB}$, $\widehat{ACB}$. • Các cung có hai mút $A$, $C$ là $\widehat{AC}$, $\widehat{ABC}$. • Các cung có hai mút $B$, $C$ là $\widehat{BAC}$, $\widehat{BaC}$.

Hình 5.10

Cách xác định số đo của một cung

1. Số đo của một cung được xác định như sau: – Số đo của nửa đường tròn bằng 180°. – Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. – Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.
2. Số đo của cung AB được kí hiệu là số đo AB. Trên Hình 5.9, ta có: sđ AmB = AOB = α (0° < α ≤ 180°); sđ AnB = 360° – α.

Chú ý

• Cung có số đo $n^\circ$ còn gọi là cung $n^\circ$. Cả đường tròn được coi là cung $360^\circ$. Đôi khi ta cũng coi một điểm là cung $0^\circ$.

• Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

Tại sao số đo cung lớn của một đường tròn luôn lớn hơn 180°?

Nhận xét

Nếu $A$ là một điểm thuộc cung $BAC$ thì số đo $\widehat{BAC} = \text{sđ}\widehat{BA} + \text{sđ}\widehat{AC}$ (H.5.10).

Ví dụ 3

Tính số đo của các cung có các đầu mút là hai trong các điểm $A$, $B$, $C$ trong Hình 5.11, biết rằng $ABC$ là tam giác vuông cân tại đỉnh $A$.

The diagram shows a circle with center O. Points B and C are located on the leftmost and rightmost points of a horizontal diameter, making BC a diameter of the circle. Point A is located at the top of the circle on the circumference. Point O is the center of the circle, located at the midpoint of BC. The diagram shows triangle ABC inscribed in the circle, where BC is a diameter. Lines are drawn from A to B, A to C, and A to O, creating two triangles: ABO and ACO. A vertical line is drawn from A down to O, representing the altitude from A to BC. The construction illustrates a geometric theorem, likely that the angle inscribed in a semicircle (angle BAC) is a right angle (Thales' theorem).

Hình 5.11

A small square tile or label with a light pink/salmon background color containing the number 89 in dark text.

Giải

• Trên Hình 5.11, ta thấy $\widehat{AB}$ và $\widehat{AC}$ là các cung nhỏ bị chắn bởi các góc ở tâm thứ tự là $\widehat{AOB}$ và $\widehat{AOC}$. Do tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AO$ cũng là đường cao, tức là $AO \perp BC$. Do đó $\widehat{AOB} = \widehat{AOC} = 90^\circ$, suy ra số đo $\widehat{AB} = \text{sđ}\widehat{AC} = 90^\circ$. • $\widehat{ACB}$ là cung lớn có chung hai mút $A, B$ với cung nhỏ $AB$ nên $\text{sđ}\widehat{ACB} = 360^\circ - \text{sđ}\widehat{AB} = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ.$ Tương tự, ta có: $\text{sđ}\widehat{ABC} = 360^\circ - \text{sđ}\widehat{AC} = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$. Ngoài ra còn có hai nửa đường tròn có chung hai mút $A$ và $B$, có số đo bằng $180^\circ$.

Luyện tập 2

Cho điểm $C$ nằm trên đường tròn $(O)$. Đường trung trực của đoạn $OC$ cắt $(O)$ tại $A$ và $B$. Tính số đo của các cung $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ABC}$.

BÀI TẬP

5.5. Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và một điểm $M$ tùy ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\frac{AB}{2}$.

5.6. Cho đường tròn (O; 5 cm) và AB là một dây bất kì của đường tròn đó. Biết AB = 6 cm. a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. b) Tính tan α nếu góc ở tâm chắn cung AB bằng 2α.

5.7. Tâm $O$ của một đường tròn cách dây $AB$ của nó một khoảng 3 cm. Tính bán kính của đường tròn ($O$), biết rằng cung nhỏ $AB$ có số đo bằng $100^\circ$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

A round wall clock with a red frame and white face. The clock has black hour and minute hands, and a red second hand. The hour hand points to approximately 10, the minute hand points to approximately 2 (indicating roughly 10:10), and the red second hand points to approximately 7. The clock face has black Arabic numerals arranged around the dial, with dotted minute markers between the numbers.

5.8. Trên mặt một chiếc đồng hồ có các vạch chia như Hình 5.12. Hỏi cứ sau mỗi khoảng thời gian 36 phút: a) Đầu kim phút vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiều độ? b) Đầu kim giờ vạch nên một cung có số đo bằng bao nhiều độ?

Hình 5.12

Number