Bài 15

ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN. DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT TRÒN VÀ HÌNH VÀNH KHUYÊN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Hình quạt tròn • Hình vành khuyên	• Tính độ dài cung tròn. • Tính diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.

Số người trên một địa bàn đã được tiêm mũi 4 phòng dịch Covid-19 đạt 40% trong tổng số các đối tượng cần được tiêm. Để hoàn thành một biểu đồ hình quạt tròn, Trang cần vẽ hình quạt tròn biểu thị số liệu 40%. Em có thể giúp bạn Trang được không?

1 ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRÒN

Công thức tính độ dài của cung tròn

Người ta chứng minh được rằng tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn bằng một số vô tỉ không đổi gọi là số $\pi$ (đọc là pi). Ta có thể tìm được giá trị gần đúng của $\pi$ nhờ máy tính cầm tay. Trong đời sống, ta thường lấy $\pi \approx 3,14$.

Do đó, ta có công thức tính độ dài $C$ của đường tròn $(O; R)$, đường kính $d = 2R$ là:

$C = \pi d = 2\pi R$. (1)

HD1 Biết rằng trên một đường tròn, hai cung bằng nhau thì có cùng độ dài và độ dài của cung tỉ lệ với số đo của nó. Từ đó hãy lập công thức tính độ dài cung $n^{\circ}$ của đường tròn bán kính $R$ bằng cách thực hiện các bước sau: a) Từ (1), tính độ dài của cung $1^{\circ}$. b) Tính độ dài $l$ của cung $n^{\circ}$. Ta có công thức tính độ dài $l$ của cung $n^{\circ}$ trên đường tròn $(O;R)$:

$l = \frac{n}{180} \pi R. \quad (2)$

Nhận xét. Từ hai công thức (1) và (2), ta được $l = \frac{n}{360}\pi d = \frac{n}{360}C$ hay $\frac{l}{C} = \frac{n}{360}$, nghĩa là: Tỉ số giữa độ dài cung $n^\circ$ và độ dài đường tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$.

Ví dụ 1

Cho $A$ và $B$ là hai điểm trên đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ sao cho $\widehat{AOB} = 120^\circ$. Tính số đo và độ dài các cung có hai mút $A, B$.

A page number element

Giải (H.5.13)

Ta có hai cung: • Cung nhỏ $AB$ bị chắn bởi góc ở tâm $AOB$. Do đó số đo $\widehat{AB} = \widehat{AOB} = 120^\circ$; Độ dài $l_1$ của cung $AB$ là:

$l_1 = \frac{120}{180} \pi \cdot 3 = 2\pi$ (cm).

• Cung lớn $AmB$ có số đo là:

$\text{sd } \widehat{AmB} = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Độ dài $l_2$ của cung $AmB$ là:

$l_2 = \frac{240}{180}\pi \cdot 3 = 4\pi \text{ (cm)}.$

Luyện tập 1

Tính độ dài cung $40^\circ$ của đường tròn bán kính 9 cm.

Vận dụng 1

Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe quay được khoảng 3,3 vòng (H.5.14). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục?

Hướng dẫn: Khi bánh xe quay 3,3 vòng thì mỗi điểm trên bánh xe di chuyển được một độ dài bằng 3,3 lần chu vi đường tròn.

2 HÌNH QUẠT TRÒN VÀ HÌNH VÀNH KHUYÊN

Hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó (H.5.15).

2. Hình vành khuyên (còn gọi là hình vành khăn) (H.5.16) là phần nằm giữa hai đường tròn có cùng tâm và bán kính khác nhau (còn gọi là hai đường tròn đồng tâm).

Number

The diagram shows a circle with center O. Two radii OA and OB are drawn from the center to points A and B on the circle, forming a central angle of 120° at O. Point A is on the upper left of the circle and point B is on the upper right. The arc at the bottom of the circle (the major arc not between A and B on the top) is labeled 'm'. The figure is labeled 'Hình 5.13' below the circle.

The image shows a blue bicycle (likely a hybrid or city bike) photographed against a white background. The bicycle features a blue frame, black saddle, flat handlebars with brake levers, two wheels with black tires and spokes, a front disc brake, and a chain drive system. There is a red arrow pointing to the crankset/bottom bracket area of the bicycle, with a Vietnamese label below it.

Hình 5.14

The image contains two geometric diagrams side by side. Hình 5.15 (Figure 5.15) on the left shows a large circle with center O, and inside it a circular sector (pie slice shape) highlighted in red/pink, formed by two radii OA and OB, where A is at the upper right and B is at the lower right of the circle. The sector represents the area between the two radii and the arc AB. Hình 5.16 (Figure 5.16) on the right shows an annulus (ring shape) - a large circle with radius R and a smaller circle with radius r, both sharing the same center O. The shaded blue area represents the region between the two circles (the annular region). The smaller radius r is shown pointing to the right horizontally, and the larger radius R is shown pointing diagonally to the lower right.

Em hãy tìm một số hình ảnh của hình quạt tròn và hình vành khuyên trong thực tế.

Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Ta đã biết, diện tích hình tròn bán kính $R$ được tính theo công thức $S = \pi R^2$. Hãy thực hiện các hoạt động sau để tìm công thức tính diện tích của hình quạt tròn và hình vành khuyên.

HD2 Biết rằng hai hình quạt tròn ứng với hai cung bằng nhau trên một đường tròn thì có diện tích bằng nhau và diện tích hình quạt tròn tỉ lệ với số đo của cung tương ứng với nó. Hãy thiết lập công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n^{\circ}$ bằng cách thực hiện từng bước sau:

a) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $1^\circ$; b) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^\circ$.

HD3 Thiết lập công thức tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là $R$ và $r$ ($R > r$).

• Diện tích $S_q$ của hình quạt tròn bán kính $R$ ứng với cung $n^\circ$: $S_q = \frac{n}{360}\pi R^2 = \frac{l \cdot R}{2}, \quad (3)$ • Diện tích $S_v$ của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính $R$ và $r$: $S_v = \pi(R^2 - r^2) \quad (\text{với } R > r). \quad (4)$

Nhận xét

Công thức (3) có thể viết là $S_q = \frac{n}{360} S$ hay $\frac{S_q}{S} = \frac{n}{360} = \frac{l}{C}$, nghĩa là:

Tỉ số giữa diện tích hình quạt tròn ứng với cung $n^{\circ}$ và diện tích hình tròn (cùng bán kính) đúng bằng $\frac{n}{360}$ và bằng tỉ số giữa độ dài cung $n^{\circ}$ và độ dài đường tròn.

Ví dụ 2

Tính diện tích của hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3 m và 5 m.

Giải

Gọi $S_V$ là diện tích cần tính. Ta có $S_V = \pi(5^2 - 3^2) = 16\pi \text{ (m}^2\text{)}$.

Number

A simple circular shape with a soft, warm orange/yellow gradient, resembling a glowing orb or the sun. The circle has a bright center that fades to a deeper orange at the edges, giving it a luminous appearance. There is no text in the image.

Ví dụ 3

Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 5 cm và có độ dài cung tương ứng với nó bằng $4\pi$ cm.

Giải

Theo đề bài, hình quạt tròn có độ dài cung tương ứng với nó là $l = 4\pi$ cm, bán kính là $R = 5$ cm. Do đó theo (3), diện tích $S$ của nó là:

$S = \frac{l \cdot R}{2} = \frac{4\pi \cdot 5}{2} = 10\pi \ (\mathrm{cm}^2).$

Thực hành

Trở lại tình huống mở đầu. Hãy vẽ (tô màu) hình quạt tròn theo hướng dẫn sau:

– Vẽ đường tròn tâm $O$ (với bán kính tùy chọn).

– Hình quạt tròn cần vẽ ứng với cung có số đo bằng 40% của 360°. Tính số đo của cung cần vẽ.

– Vẽ góc ở tâm có số đo tìm được và tô màu hình quạt tròn tương ứng.

Luyện tập 2

Tính diện tích của hình quạt tròn đã vẽ trong Thực hành trên nếu bán kính của nó bằng 4 cm.

Kết nối tri thức

Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm và 30 cm (H.5.17). Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia. Tính xác suất ném trúng vòng 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích của hình vành khuyên tương ứng với diện tích của hình tròn lớn nhất.

A circular target/bullseye diagram with concentric rings on a blue background. There are two red diagonal lines forming an X across the entire circle. The rings are labeled with numbers: '6' on the outer area, '>8' and '9' visible in the inner rings area. The diagram appears to be a shooting target or scoring zone diagram. Below the image is the caption 'Hình 5.17'.

BÀI TẬP

5.9. Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và ba điểm $A, B, C$ trên đường tròn đó sao cho tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $A$ và số đo của cung nhỏ $BC$ bằng $70^\circ$.

a) Giải thích tại sao hai cung nhỏ $AB$ và $AC$ bằng nhau.

b) Tính độ dài của các cung $BC$, $AB$ và $AC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

number

A simple circular shape with a warm gradient, transitioning from a bright yellow-orange at the top to a deeper orange at the bottom, resembling a sun or a plain orange/yellow circle. No text is present in the image.

5.10. Tính diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung 36°.

5.11. Tính diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm.

5.12. Có hai chiếc bánh pizza hình tròn (H.5.18). Chiếc bánh thứ nhất có đường kính 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Hãy so sánh diện tích bề mặt của hai miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và thứ hai.

The image shows two pizzas side by side. The left pizza is a supreme-style pizza cut into 6 slices, topped with tomato sauce, melted cheese, pepperoni, red bell peppers, black olives, and fresh basil leaves, placed on a wooden surface with a red and white checkered cloth. The right pizza is a pepperoni pizza cut into 8 slices with one slice slightly pulled away, topped with tomato sauce, melted cheese, pepperoni rounds, and fresh basil leaves in the center, placed on a dark stone surface with tomatoes, garlic, and basil visible in the background.

Hình 5.18

5.13. Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có dạng nửa hình tròn bán kính 2,2 dm như Hình 5.19. Tính diện tích phần giấy của chiếc quạt, biết rằng khi gấp lại, phần giấy có chiều dài khoảng 1,6 dm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của dm²).

A decorative illustration of a traditional Asian folding fan (likely Chinese or Vietnamese) shown fully opened in a semicircular shape. The fan features alternating shades of blue (light blue and darker blue) panels separated by dark gray/charcoal ribs. The center pivot point is decorated with a small circular ornament, and below it hangs a decorative tassel made of two beads and blue fringe threads. The fan is rendered in a flat graphic/illustration style.

Number

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$. Từ $B$ và $C$ kẻ lần lượt hai đường cao $BH$ và $CK$ của tam giác $ABC$. a) Chứng minh rằng đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$ đi qua $K$ và $H$. b) Chứng minh rằng hai cung nhỏ $BH$ và $CK$ bằng nhau. c) Tính số đo của cung nhỏ $KH$ nếu $\widehat{BAC} = 40^\circ$.

Giải (H.5.20; học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)

a) Đặt $R = \frac{BC}{2} = OB = OC$. Khi đó $(O; R)$ là đường tròn đường kính $BC$. Dễ thấy $HO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông $HBC$ nên $OH = \frac{BC}{2} = R$. Do đó $H \in (O; R)$. Tương tự, ta cũng có $K \in (O; R)$. Vậy đường tròn $(O; R)$ đi qua các điểm $K$ và $H$.

b) Hai tam giác vuông $HBC$ và $KCB$ có chung cạnh huyền $BC$ và $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$) nên $\Delta HBC = \Delta KCB$, suy ra $BH = CK$. Do đó $\Delta BOH = \Delta COK$ (vì $BO = CO$, $OH = OK$, $BH = CK$). Từ đó ta có $\widehat{BOH} = \widehat{COK}$. Mặt khác, số đo $\widehat{BH} = \widehat{BOH}$, số đo $\widehat{CK} = \widehat{COK}$, do đó $\widehat{BH} = \widehat{CK}$.

c) Ba tam giác cân $ABC$, $OCH$ và $OBK$ có các góc ở đáy bằng nhau nên ba góc ở đỉnh cũng bằng nhau. Bởi vậy ta có $\widehat{BOK} = \widehat{HOC} = \widehat{BAC} = 40^\circ$.

Mặt khác, $\widehat{BOK} + \widehat{KOH} + \widehat{HOC} = \widehat{BOC} = 180^\circ$. Do đó $\widehat{KOH} = 180^\circ - \widehat{BOK} - \widehat{HOC} = 100^\circ$.

Do $\widehat{KOH}$ là góc ở tâm khác góc bẹt nên $\widehat{KH}$ là cung nhỏ. Do đó số đo $\widehat{KH} = \widehat{KOH} = 100^\circ$.

Ví dụ 2

Ta gọi hình giới hạn bởi một cung nhỏ của một đường tròn và dây căng cung đó là hình viên phân. Lập công thức tính diện tích hình viên phân ứng với cung 90°, biết bán kính của đường tròn là R.

The diagram shows a circle with center O. Inside the circle, there is a right angle marked at point O. Point A is located on the upper right of the circle's circumference, and point B is located on the lower right of the circle's circumference. A line segment labeled R is drawn from O to A, representing the radius. There is a right angle symbol at O between the radius OA and another line. The region between the chord AB and the arc AB (on the right side) is shaded in blue, forming a circular segment. The lines OA and OB are drawn from the center to the circumference, forming a right angle at O. The figure is labeled 'Hình 5.21' below.

Number

Giải

Giả sử $AB$ là cung có số đo $90^\circ$; $S$ là diện tích hình viên phân (phần tô màu trên Hình 5.21) và $S_q$ là diện tích của hình quạt ứng với cung đó; $S_t$ là diện tích hình tam giác $OAB$.

Ta có $S_q = \frac{90}{360}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi R^2$, $S_t = \frac{1}{2}OA \cdot OB = \frac{1}{2}R^2$. Do đó

$S = S_{\mathrm{q}} - S_{\mathrm{t}} = \frac{1}{4}\pi R^{2} - \frac{1}{2}R^{2} = R^{2}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right).$

BÀI TẬP

5.14. Cho dây $AB$ không qua tâm của đường tròn $(O)$. Gọi $A'$ và $B'$ là hai điểm lần lượt đối xứng với $A$ và $B$ qua $O$. Hỏi đường trung trực của $A'B'$ có phải là trục đối xứng của $(O)$ hay không? Tại sao?

5.15. Cho tam giác $ABC$ không là tam giác vuông. Gọi $H$ và $K$ là chân các đường vuông góc lần lượt hạ từ $B$ và $C$ xuống $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng:

a) Đường tròn đường kính $BC$ đi qua các điểm $H$ và $K$; b) $KH < BC$.

5.16. Có thể xem guồng nước (còn gọi là cọn nước) là một công cụ hay cỗ máy có dạng hình tròn, quay được nhờ sức nước chảy (H.5.22a). Guồng nước thường thấy ở các vùng miền núi. Nhiều guồng nước được làm bằng tre, dùng để đưa nước lên ruộng cao, giã gạo hoặc làm một số việc khác.

Giả sử ngăn nước ngăn cách giữa phần trên và phần dưới nước của một guồng nước được biểu thị bởi cung ứng với một dây dài 4 m và điểm ngập sâu nhất là 0,5 m (trên Hình 5.22b, điểm ngập sâu nhất là điểm C, ta có AB = 4 m và HC = 0,5 m). Dựa vào đó, em hãy tính bán kính của guồng nước.

The image shows a traditional wooden water wheel partially submerged in a calm, green-colored river. The water wheel is large and constructed from bamboo and wood, with a circular frame and multiple paddles or buckets designed to scoop water as it rotates. The wheel is supported by an elaborate wooden and bamboo scaffolding structure extending over the water. In the background, there are lush green karst mountains covered in dense vegetation under a partly cloudy blue sky. The river reflects the surrounding scenery. The overall setting appears to be a rural area in Southeast Asia, possibly Vietnam or Laos, where such traditional water wheels are commonly used for irrigation purposes.

The drawing shows a circle with center O. A horizontal chord AB passes through the lower portion of the circle, with point C located between A and B on the chord. Point H is marked on the vertical line from O down to the chord, forming a right angle at H (indicated by a small square). Lines are drawn from O to A and from O to H, forming a right triangle OHA. The label 'b)' below the figure indicates this is part b of a multi-part figure. The construction illustrates the perpendicular from the center O to the chord AB, where H is the foot of the perpendicular, and C appears to be the midpoint of the chord on the circle's diameter line.

A lowercase letter 'a' followed by a closing parenthesis, used as a list or figure label.

Hình 5.22

A small rectangular badge or label displaying the number 97, with a pink/salmon colored vertical bar on the right side. The background is white/light colored.

5.17. Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

5.18. Ba bộ phận truyền chuyển động của một chiếc xe đạp gồm một giò đĩa (bánh răng gắn với bàn đạp), một chiếc líp (cũng có dạng bánh răng) gắn với bánh xe và bộ xích (H.5.23). Biết rằng giò đĩa có bán kính 15 cm, líp có bán kính 4 cm và bánh xe có đường kính 65 cm. Hỏi khi người đi xe đạp một vòng thì xe chạy được quãng đường dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

A blue bicycle shown from the side. The image has two labeled parts indicated by red arrows: 'Líp' pointing to the rear wheel hub/freewheel area, and 'Giò đĩa' pointing to the crankset/chainring area at the bottom bracket. The bicycle appears to be a city or hybrid style bike with disc brakes on the front wheel and a traditional rim on the rear wheel.

5.19. Cho tam giác đều $ABC$ có $AB = 2\sqrt{3}$ cm. Nửa đường tròn đường kính $BC$ cắt hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$ (khác $B$ và $C$) (H.5.24). a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ $BD$, $DE$ và $EC$ bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy. b) Tính diện tích của hình viên phân (xem Ví dụ 2) giới hạn bởi dây $BD$ và cung nhỏ $BD$.

The diagram shows a geometric figure consisting of a triangle ABC with vertex A at the top and base BC at the bottom. Points D and E are located on the sides AB and AC respectively, roughly at mid-height of the triangle. A semicircle is drawn with BC as its diameter, with the arc passing through or near points D and E. The semicircle's arc curves upward from B to C, intersecting the triangle's sides at points D and E. There are also curved arcs drawn from B to D and from E to C, suggesting circular arc segments. The figure appears to illustrate a geometric relationship between the triangle and the inscribed semicircle, possibly related to a theorem about tangent lines or inscribed figures.

Number