Bài 16

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Tiếp tuyến • Tiếp điểm • Hai tiếp tuyến cắt nhau	• Mô tả và vẽ hình biểu thị ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: cắt nhau, tiếp xúc nhau, không giao nhau. • Nhận biết tiếp tuyến của đường tròn dựa vào định nghĩa hoặc dấu hiệu nhận biết. • Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau trong giải toán.

Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính 1 cm lên một tờ giấy trải phẳng. Trên tờ giấy đó có vẽ những đường thẳng song song cách đều, tức là những đường thẳng song song mà khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì nằm cạnh nhau luôn bằng nhau. Nếu khoảng cách ấy luôn bằng 2 cm thì có thể xảy ra những trường hợp nào sau đây? Vì sao?

The image shows a coin placed on a lined paper (notebook or ruled paper). The coin appears to be a small metallic coin, possibly a dime or similar denomination, with a portrait visible on its face. The coin is positioned diagonally across the horizontal lines of the paper, which are evenly spaced. The paper appears white with gray horizontal lines.

a) Đồng xu đè lên một đường thẳng (đồng xu che khuất một phần của đường thẳng);

b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào;

c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

HĐ1

Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn

HD1 Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống $a$, và $A$ là một điểm thuộc tia $OH$. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường tròn $(O; OA)$ và cho biết đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; OA)$ có bao nhiêu điểm chung.

The diagram shows a geometric construction with two perpendicular lines forming a cross shape. A horizontal line is labeled 'a' on the left side. A vertical line passes through the intersection point labeled 'H', with point 'O' at the top and point 'A' at the bottom. A small square at point 'H' indicates a right angle (90 degrees) between the horizontal line 'a' and the vertical line OA. This represents a perpendicular from point O (or A) dropped onto line 'a', with H being the foot of the perpendicular.

The drawing shows a geometric construction with a horizontal line labeled 'a'. A vertical line segment rises perpendicularly from point 'A' on line 'a' up to point 'O'. The right angle between the vertical segment and the horizontal line is marked with a small square symbol at point 'A', indicating a 90-degree angle. Point 'H' is marked on line 'a' to the right of point 'A'. The figure illustrates a perpendicular line from point 'O' dropped to line 'a', with the foot of the perpendicular at point 'A', and H marking a reference point on the base line.

The diagram shows a geometric figure illustrating a perpendicular relationship. There is a horizontal line labeled 'a' extending to the left and right. A vertical line segment goes from point H (on line a) upward through point A to point O at the top. Point H is where the vertical line meets the horizontal line 'a', and a small square symbol at H indicates a right angle (90 degrees) between the vertical line and the horizontal line 'a'. Point A is an intermediate point on the vertical segment between H and O. The vertical line OA extended meets line 'a' perpendicularly at H.

a) $OH < OA$

b) OH = OA

c) $OH > OA$

Hình 5.25

99

1. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (H.5.26a).

2. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung $H$. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng $a$ còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $H$ (H.5.26b).

3. Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (H.5.26c).

Nhận xét

1. Cho đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $a$. Từ HĐ1, ta nhận thấy: Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$ cắt nhau khi $d < R$ (H.5.26a), tiếp xúc với nhau khi $d = R$ (H.5.26b) và không giao nhau khi $d > R$ (H.5.26c).

The image shows three geometric diagrams (labeled a, b, c) illustrating the relationship between a circle and a line 'a', specifically showing different cases of the distance 'd' from center O to line 'a' compared to radius R. Diagram a): A circle with center O and radius R intersects line 'a' at two points A and B. The perpendicular distance from O to line 'a' is labeled 'd', with H being the foot of the perpendicular. This represents the case where d < R (secant line). Diagram b): A circle with center O and radius R is tangent to line 'a' at point H. The perpendicular from O meets line 'a' at H, and OH = R. This represents the case where d = R (tangent line). Diagram c): A circle with center O and radius R does not intersect line 'a'. Point A is on the circle, H is the foot of the perpendicular from O to line 'a', and OH > R. This represents the case where d > R (line does not intersect the circle).

2. Nếu đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $H$ thì $OH \perp a$.

Luyện tập 1

Cho đường thẳng $a$ và điểm $O$ cách $a$ một khoảng bằng 4 cm. Không vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không cắt đường thẳng $a$. Tại sao? a) $(O; 3\text{ cm})$; b) $(O; 5\text{ cm})$; c) $(O; 4\text{ cm})$.

2 DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau khi nào?

HD2 Cho đoạn thẳng $OH$ và đường thẳng $a$ vuông góc với $OH$ tại $H$.

a) Xác định khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$.

b) Nếu vẽ đường tròn $(O; OH)$ thì đường tròn này và đường thẳng $a$ có vị trí tương đối như thế nào?

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến)

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

100

Ví dụ 1

Cho $AB$ là một dây không đi qua tâm của đường tròn $(O)$. Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $AB$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ ở điểm $C$. Chứng minh rằng $CB$ là một tiếp tuyến của $(O)$.

Giải (H.5.27)

Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và $OC$.

Trong tam giác cân $AOB$ ($OA = OB$), đường cao $OD$ (do $OC \perp AB$) cũng là đường phân giác của góc $O$, suy ra $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$.

Ta có $\Delta AOC = \Delta BOC$ (c.g.c), vì $OC$ là cạnh chung, $\widehat{O_1} = \widehat{O_2}$ và $OA = OB$.

Từ đó $\widehat{OBC} = \widehat{OAC} = 90^\circ$ (do $CA$ là tiếp tuyến), tức là $CB$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $B$.

Do đó theo Định lí 1, $CB$ cũng là tiếp tuyến của $(O)$.

Luyện tập 2

Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3 cm) tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Thực hành

Cho đường thẳng $a$ và điểm $M$ không thuộc $a$. Hãy vẽ đường tròn tâm $M$ tiếp xúc với $a$.

KẾT NỐI TRI THỨC

Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng khi đường tròn (hình ảnh viền ngoài của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.

Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp c.

3 HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

HĐ3

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

HD3 Cho điểm $M$ ở bên ngoài một đường tròn tâm $O$. Hãy dùng thước và compa thực hiện các bước vẽ hình như sau:

– Vẽ đường tròn đường kính $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$;

– Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$.

MA và MB gọi là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O).

Page number

HD4 (Dựa vào hình vẽ có được sau HD3). Bằng cách xét hai tam giác OMA và OMB, chứng minh rằng:

a) $MA = MB$; b) $MO$ là tia phân giác của góc $AMB$; c) $OM$ là tia phân giác của góc $AOB$.

Định lí 2

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M thì: • Điểm M cách đều hai tiếp điểm; • MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến; • OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Ví dụ 2

Cho hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ của đường tròn $(O; R)$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng $OM \perp AB$. b) Tính $MA$ và $MB$, biết $R = 2\text{ cm}$ và $MO = 4\text{ cm}$.

Giải (H.5.29)

a) Do $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(O)$ nên theo Định lí 2, ta có $OM$ là tia phân giác của góc $AOB$. Trong tam giác cân $AOB$ ($OA = OB$), đường phân giác $OM$ cũng là đường cao nên ta có $OM \perp AB$.

b) Tam giác $OAM$ có $\widehat{OAM} = 90^\circ$ (do $MA$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $A$) và $OA = R = 2\text{ cm}$, $OM = 4\text{ cm}$ (giả thiết).

ÚC

The diagram shows a circle with center O and two points A and B on the circle. Point M is located outside the circle to the left. Two secant lines are drawn from point M through the circle: one passes through point A (at the top of the circle) and the other passes through point B (at the bottom of the circle). The line segment AB is a chord of the circle that appears to be vertical, passing through or near the center O. Right angle marks are shown at points A and B, suggesting that MA and MB are tangent lines or that certain angles are right angles. The line MO appears to be drawn as well, connecting the external point M to the center O. The figure illustrates a geometric configuration involving a circle, an external point, and secant or tangent lines, typical of circle theorems in geometry.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $OAM$ ta có $AM^2 + OA^2 = OM^2$.

Từ đó suy ra:

$AM^2 = OM^2 - OA^2 = 4^2 - 2^2 = 12.$

Vậy $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (cm).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có $BM = AM = 2\sqrt{3}$ cm.

Page number

A simple circular shape with a warm orange/yellow gradient color. The circle appears to be a solid disc with a bright, glowing appearance, resembling a sun or an orange fruit. The color transitions from a bright yellow-orange at the center to a deeper orange at the edges.

Thử thách nhỏ

Cho góc $xMy$ và điểm $A$ thuộc tia $Mx$. Hãy vẽ đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với cả hai cạnh của góc $xMy$ sao cho $A$ là một trong hai tiếp điểm.

BÀI TẬP

5.20. Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng $a$ và $b$. Biết rằng $a$ và $b$ là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng $b$ đều cách $a$ một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng $b$ thì hình tròn nào sẽ che khuất một phần của đường thẳng $a$, hình tròn nào sẽ không che khuất một phần của đường thẳng $a$?

5.21. Cho đường tròn $(O)$ đi qua ba đỉnh $A$, $B$ và $C$ của một tam giác cân tại $A$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua $A$ và song song với $BC$ là một tiếp tuyến của $(O)$.

5.22. Cho góc $xOy$ với tia phân giác $Ot$ và điểm $A$ trên cạnh $Ox$, điểm $B$ trên cạnh $Oy$ sao cho $OA = OB$. Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $Ox$ cắt $Ot$ tại $M$. Chứng minh rằng $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(M; MA)$.

5.23. Cho $SA$ và $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$ ($A$ và $B$ là hai tiếp điểm). Gọi $M$ là một điểm tùy ý trên cung nhỏ $AB$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

b) Giả sử $M$ là giao điểm của đoạn $SO$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $SE = SF$.

Page number indicator