Bài 17

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
• Hai đường tròn cắt nhau • Hai đường tròn tiếp xúc nhau • Hai đường tròn không giao nhau • Tiếp điểm	Nhận biết các vị trí tương đối của hai đường tròn.

• Nguyệt thực là hiện tượng Mặt Trăng bị bóng của Trái Đất che khuất toàn bộ (nguyệt thực toàn phần) hay một phần (H.5.30). Do Mặt Trăng và bóng Trái Đất được xem là có dạng hình tròn nên nguyệt thực cho ta một hình ảnh thực tế về vị trí tương đối của hai đường tròn. Em có thể cắt ra hai hình tròn bằng giấy để mô phỏng hiện tượng nguyệt thực. Nhưng trước hết hãy tìm hiểu về vị trí tương đối của hai đường tròn.

A photograph of the Moon during a lunar eclipse. The Moon appears partially in shadow, with the left portion showing a bright white/grey illuminated surface displaying the typical lunar surface features (craters and maria), while the right and central portions are covered by Earth's umbral shadow, giving the Moon a deep reddish-brown color, characteristic of a 'Blood Moon' effect caused by sunlight refracting through Earth's atmosphere. The image is set against a completely black background of space.

• Sau đây, khi nói hai đường tròn mà không có giải thích gì thêm, ta hiểu đó là hai đường tròn phân biệt.

Hình 5.30

1 HAI ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU

Tìm hiểu hai đường tròn cắt nhau HD1 Cho hình 5.31, trong đó giả sử $O'A < OA$. Ta có $OA - O'A < OO' < OA + O'A$. Hãy vẽ hai đường tròn $(O; OA)$, $(O'; O'A)$ và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung. Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm của chúng.

Nhận xét

The diagram shows a triangle with three vertices labeled O (top left), O' (top right), and A (bottom center). The triangle has a horizontal top edge connecting O and O', and two diagonal edges going down from O and O' respectively to meet at point A at the bottom, forming an inverted triangle shape. The caption below reads 'Hình 5.31' (Figure 5.31 in Vietnamese).

The diagram shows two intersecting circles. The left circle has center O and the right circle has center O'. The two circles intersect at two points: B (top) and A (bottom). Several line segments are drawn connecting the centers and intersection points: a line from O to O' (the line connecting the two centers), lines from O to A, O to B, O' to A, and O' to B, forming a rhombus-like quadrilateral BOAO' (or OABO'). The overlapping region (lens shape) between the two circles is shaded/highlighted. The caption reads 'Hình 5.32' (Figure 5.32).

Từ HĐ1 ta thấy hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ cắt nhau khi $R - R' < OO' < R + R'$ (với $R > R'$).

Ví dụ 1 Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 5$ cm. Hãy giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 4$ cm) và $(O'; 3$ cm) cắt nhau.

Giải

Đặt $R = 4$ cm; $R' = 3$ cm, ta thấy $1$ cm $< 5$ cm $< 7$ cm, nên $R - R' < OO' < R + R'$. Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau.

A small, simple image showing what appears to be a bright yellow-orange glowing circle or sphere, resembling a sun or light source, set against a white background. The object has a soft, radiant glow effect around it.

Page number

Luyện tập 1

Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm I cách O một khoảng 2 cm. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn (I; r) trong mỗi trường hợp sau:

a) $r = 4$ cm; b) $r = 6$ cm.

2 HAI ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU

Tìm hiểu hai đường tròn tiếp xúc nhau

HD2 Trên Hình 5.33a, ta có $OO' = OA + O'A$; trên Hình 5.33b, ta có $OO' = OA - O'A$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; O'A)$ và cho biết hai đường tròn đó có mấy điểm chung?

The diagram consists of two figures (Hình 5.33 and Hình 5.34) illustrating the concept of two tangent circles. Hình 5.33 shows two line configurations: a) points O, A, O' where A is between O and O', with O' closer to A; b) points O, O', A where O' is between O and A, with O closer to O'. A highlighted text box explains that if two circles have exactly one common point, they are called tangent circles (hai đường tròn tiếp xúc nhau), and the common point is called the point of tangency (tiếp điểm). Hình 5.34 shows two cases of tangent circles: a) External tangency (Tiếp xúc ngoài): two circles of similar size touching externally at point A, with centers O and O' on either side of A; b) Internal tangency (Tiếp xúc trong): a smaller circle inside a larger circle, touching internally at point A, with centers O and O' both inside the larger circle near point A.

Chú ý

Người ta còn phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn tiếp xúc ngoài (H.5.34a) và hai đường tròn tiếp xúc trong (H.5.34b).

Nhận xét

1. Từ HĐ2, ta nhận thấy: Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ tiếp xúc ngoài khi $OO' = R + R'$, và tiếp xúc trong khi $OO' = R - R'$ ($R > R'$).
2. Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Ví dụ 2

Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 5$ cm. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 3$ cm) và $(O'; 2$ cm) tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

Giải

Đặt $R = 3\text{ cm}$ và $R' = 2\text{ cm}$, ta thấy $5\text{ cm} = 3\text{ cm} + 2\text{ cm}$, nghĩa là $OO' = R + R'$. Vậy hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài với nhau.

Luyện tập 2

Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 3$ cm. Giải thích tại sao hai đường tròn $(O; 8$ cm) và $(O'; 5$ cm) tiếp xúc với nhau. Chúng tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài?

A numeric label or page number

3 HAI ĐƯỜNG TRÒN KHÔNG GIAO NHAU

Tìm hiểu hai đường tròn không giao nhau

HD3 Trên Hình 5.35a, ta có $OO' > OA + O'B$; trên Hình 5.35b, ta có $OO' < OA - O'B$. Trong mỗi trường hợp, hãy vẽ hai đường tròn $(O; OA)$ và $(O'; OB)$ và cho biết hai đường tròn đó có điểm chung nào không.

The image shows two horizontal line diagrams labeled a) and b), captioned 'Hình 5.35'. Diagram a) shows a horizontal line with four points marked from left to right in the order: O, A, B, O'. Diagram b) shows a horizontal line with four points marked from left to right in the order: O, O', B, A. In both diagrams, the points are represented as dots on the line, with O and A (in diagram a) or O and O' (in diagram b) being the leftmost points, and O' (in diagram a) or A (in diagram b) being the rightmost point. These appear to represent geometric configurations of points on a line, likely illustrating different relative positions of points O, O', A, and B.

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

Chú ý

Người ta còn phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn ngoài nhau (H.5.36a) và đường tròn này đựng đường tròn kia (H.5.36b).

Nhận xét

The image shows two geometric diagrams illustrating circle relationships. Left diagram (a): Two externally tangent circles labeled 'Hai đường tròn ngoài nhau' (Two externally tangent circles). The larger circle has center O and the smaller circle has center O'. Points A and B are marked on the line segment connecting the two centers, where A and B appear to be the points of tangency on each circle respectively. Right diagram (b): Two circles where one contains the other, labeled '(O) đựng (O')' meaning circle O contains circle O'. The larger circle has center O and the smaller circle has center O', with point A marked on the right side where the circles are internally tangent. Both diagrams are part of Figure 5.36 (Hình 5.36).

Từ HĐ3 ta nhận thấy:

• Hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ ngoài nhau khi $OO' > R + R'$.

• Đường tròn $(O; R)$ đựng đường tròn $(O'; R')$ khi $R > R'$ và $OO' < R - R'$. Đặc biệt, khi $O$ trùng với $O'$ và $R \neq R'$ thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Ví dụ 3 Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O; 3 cm) và (O'; 5 cm), biết rằng OO' > 8 cm.

Giải

Đặt $R = 3\text{ cm}$ và $R' = 5\text{ cm}$, ta có $OO' > 8\text{ cm} = R + R'$. Vậy $(O; 3\text{ cm})$ và $(O'; 5\text{ cm})$ là hai đường tròn ngoài nhau.

Luyện tập 3

Cho hai điểm $O$ và $O'$ sao cho $OO' = 2$ cm. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn $(O; 5 \text{ cm})$ và $(O'; r)$, biết rằng $r < 3$ cm.

Thực hành

Để mô phỏng nguyệt thực, em hãy cắt hai hình tròn từ giấy: hình tròn thứ nhất màu sáng tượng trưng cho Mặt Trăng, hình tròn thứ hai màu tối (to hơn và bằng giấy mờ càng tốt) tượng trưng cho bóng Trái Đất. Sắp xếp hai hình tròn đó để:

a) Mô phỏng nguyệt thực một phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Page number

b) Mô phỏng nguyệt thực toàn phần. Khi đó, hình ảnh của hai đường tròn có vị trí tương đối như thế nào?

Tranh luận

Tròn cho rằng: Nói “hai đường tròn không cắt nhau” cũng có nghĩa là “hai đường tròn không giao nhau”. Theo em, Tròn đúng hay sai?

Ta có bảng tổng kết sau:

Vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O; R') (R ≥ R')	Số điểm chung	Hệ thức giữa OO' với R và R'
Hai đường tròn cắt nhau	2	R – R' < OO' < R + R'
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: – Tiếp xúc ngoài – Tiếp xúc trong	1	OO' = R + R' OO' = R – R' > 0
Hai đường tròn không giao nhau: – (O) và (O') ở ngoài nhau – (O) đựng (O')	0	OO' > R + R' OO' < R – R'

BÀI TẬP

5.24. Hình 5.37 cho thấy hình ảnh của những đường tròn (là viền ngoài của các sản phẩm) qua cách trình bày một số sản phẩm mây tre đan. Bằng cách đánh số các đường tròn, em hãy chỉ ra một vài cặp đường tròn cắt nhau và vài cặp đường tròn không giao nhau.

5.25. Cho hai điểm $O$ và $O'$ cách nhau một khoảng 5 cm. Mỗi đường tròn sau đây có vị trí tương đối như thế nào đối với đường tròn ($O$; 3 cm).

a) Đường tròn ($O'$; 3 cm); b) Đường tròn ($O'$; 1 cm); c) Đường tròn ($O'$; 8 cm).

5.26. Cho ba điểm thẳng hàng $O$, $A$ và $O'$. Với mỗi trường hợp sau, hãy viết hệ thức giữa các độ dài $OO'$, $OA$ và $O'A$ rồi xét xem hai đường tròn ($O$; $OA$) và ($O'$; $O'A$) tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài với nhau; vẽ hình để khẳng định dự đoán của mình.

a) Điểm $A$ nằm giữa hai điểm $O$ và $O'$;

b) Điểm $O$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O'$;

c) Điểm $O'$ nằm giữa hai điểm $A$ và $O$.

5.27. Cho hai đường tròn ($O$) và ($O'$) tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$. Một đường thẳng qua $A$ cắt ($O$) tại $B$ và cắt ($O'$) tại $C$. Chứng minh rằng $OB // O'C$.

107

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; R')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $M$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$, $N$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O'$ như Hình 5.38. Chứng minh rằng:

a) $M \in (O)$, $N \in (O')$ và ba điểm $M, B, N$ thẳng hàng;

b) Đường thẳng $MN$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$.

Giải (Học sinh tự ghi giả thiết, kết luận) a) Do tính đối xứng của (O) nên từ $A \in (O)$ suy ra $M \in (O)$ (vì $M$ đối xứng với $A$ qua $O$). Tam giác $ABM$ có $BO$ là đường trung tuyến và $BO = \frac{1}{2}AM$ (bán kính bằng nửa đường kính) nên là tam giác vuông tại $B$. Vậy $\widehat{ABM} = 90^\circ$. Tương tự, ta cũng có $N \in (O')$ và $\widehat{ABN} = 90^\circ$. Từ hai kết quả trên suy ra $\widehat{MBN} = \widehat{ABM} + \widehat{ABN} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Điều đó chứng tỏ ba điểm $M, B, N$ thẳng hàng. b) Kết quả câu a còn cho thấy $MN \perp AB$, tức là $MN$ vuông góc với bán kính của đường tròn đường kính $AB$ tại $B$. Do đó, $MN$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$.

Ví dụ 2

Cho hai đường tròn ngoài nhau $(O; R)$ và $(O'; R')$ với giả thiết $R > R'$. Một đường thẳng $d$ tiếp xúc với $(O; R)$ tại $A$ và tiếp xúc với $(O'; R')$ tại $B$ sao cho $O$ và $O'$ nằm cùng phía đối với $d$. Giả sử $d$ cắt đường thẳng $OO'$ tại điểm $P$ (Hình 5.39).

a) Chứng minh rằng $\frac{PO}{PO'} = \frac{R}{R'}$.

b) Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $OO'$. Chứng minh rằng đường thẳng $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ và với $(O')$.

number

Giải (H.5.39, học sinh tự ghi giả thiết, kết luận)

a) Do $d$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$, tiếp xúc với $(O')$ tại $B$ nên $OA \perp d$ và $O'B \perp d$. Do đó, trong tam giác $POA$ ta có $O'B // OA$, suy ra $\Delta POA \sim \Delta PO'B$. Từ đó, ta có $\frac{PO}{PO'} = \frac{OA}{O'B} = \frac{R}{R'}$.

b) Do $A'$ đối xứng với $A$ qua $OO'$ và $A \in (O)$ nên $A' \in (O)$ và $OO' \perp AA'$, tức là $OP \perp AA'$.

Tam giác $OAA'$ là tam giác cân (do $OA = OA'$) có $OP \perp AA'$ nên $OP$ là tia phân giác của góc $AOA'$, suy ra $\widehat{AOP} = \widehat{A'OP}$.

Hai tam giác $AOP$ và $A'OP$ có: $OA = OA'$ (bán kính đường tròn $(O)$); $OP$ chung và $\widehat{AOP} = \widehat{A'OP}$. Vậy $\Delta AOP = \Delta A'OP$ (c.g.c), suy ra $\widehat{PA'O} = \widehat{PAO}$ mà $\widehat{PAO} = 90^\circ$ (do $PA$ tiếp xúc với $(O)$) nên $\widehat{PA'O} = 90^\circ$.

Vậy $PA'$ vuông góc với bán kính $OA'$ của $(O)$ tại $A'$. Điều đó chứng tỏ $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A'$.

Đối với đường tròn $(O')$, gọi $B'$ là chân đường vuông góc hạ từ $O'$ xuống $PA'$. Để khẳng định rằng $PA'$ cũng tiếp xúc với $(O')$ tại $B'$, ta chỉ cần chứng minh $B' \in (O')$.

Thật vậy, $O'B'$ và $OA'$ cùng vuông góc với $PA'$ nên $O'B' // OA'$, suy ra $\Delta POA' \sim \Delta PO'B'$. Do đó

$\frac{OA'}{O'B'} = \frac{PO}{PO'}$.

Mà theo câu a ta có $\frac{PO}{PO'} = \frac{R}{R'}$ nên $\frac{OA'}{O'B'} = \frac{R}{R'}$, hay $\frac{R}{O'B'} = \frac{R}{R'}$.

Điều này chứng tỏ $O'B' = R'$, nghĩa là $B' \in (O')$.

Vậy $PA'$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A'$ và tiếp xúc với $(O')$ tại $B'$.

BÀI TẬP

5.28. Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau, điểm $O$ nằm trong phần mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng đó. Biết rằng khoảng cách từ $O$ đến $a$ và $b$ lần lượt bằng 2 cm và 3 cm.

a) Hỏi bán kính $R$ của đường tròn $(O; R)$ phải thoả mãn điều kiện gì để $(O; R)$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$?

b) Biết rằng đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn $(O; R)$ và đường thẳng $b$.

Page number

5.29. Khi chuyển động, giả sử đầu mũi kim dài của một chiếc đồng hồ vạch nên một đường tròn, kí hiệu là (T1), trong khi đầu mũi kim ngắn vạch nên một đường tròn khác, kí hiệu là (T2). a) Hai đường tròn (T1) và (T2) có vị trí tương đối như thế nào? b) Giả sử bán kính của (T1) và (T2) lần lượt là $R_1$ và $R_2$. Người ta vẽ trên mặt đồng hồ một hoạ tiết hình tròn có tâm nằm cách điểm trục kim đồng hồ một khoảng bằng $\frac{1}{2}R_1$ và có bán kính bằng $\frac{1}{2}R_2$. Hãy cho biết vị trí tương đối của đường tròn (T3) đối với mỗi đường tròn (T1) và (T2). Vẽ ba đường tròn đó nếu $R_1 = 3$ cm và $R_2 = 2$ cm. (T3) 5.30. Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N. a) Chứng minh rằng MN = MA + NB. b) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với AB cắt NM tại Q. Chứng minh rằng Q là trung điểm của đoạn MN. c) Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN. 5.31. Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài với nhau tại A và cùng tiếp xúc với đường thẳng d tại B và C (khác A), trong đó $B \in (O)$ và $C \in (O')$. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) Đường thẳng MA tiếp xúc với (O'); b) Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC từ đó suy ra ABC là tam giác vuông.

EM CÓ BIẾT ? (Đọc thêm)

Vẽ chập nối trơn

Trong những bản tin dự báo thời tiết trên truyền hình, các em có thể bắt gặp hình biểu tượng của đám mây như Hình 5.40a. Quan sát đường viền của hình này, các em thấy có gì đáng chú ý?

Hình 5.40

– Thứ nhất, đường viền gồm một đoạn thẳng và 4 cung tròn được chập nối với nhau như Hình 5.40b. – Thứ hai, trên Hình 5.40b, ta thấy đường viền bị “gãy” tại những điểm C, D và E (đó là những điểm chập nối giữa hai cung tròn). Trong khi đó tại điểm chập nối giữa đoạn thẳng AB và cung tròn AqE, đường viền không bị “gãy”. Ta nói rằng đoạn thẳng AB được chập nối trơn với cung AqE (tại điểm A). Tương tự, cung BmC cũng được chập nối trơn với đoạn AB (tại điểm B).

Number

Chấp nối trơn có nhiều ứng dụng trong thực tế đời sống. Chẳng hạn, tàu hoả phải chạy trên đường ray thẳng hoặc đường thẳng chấp nối trơn với đoạn đường cong (H.5.41).

Vậy muốn có chắp nối trơn ta làm thế nào? Trước hết, ta tìm hiểu về vẽ chắp nối trơn. Cách vẽ chắp nối trơn được suy ra từ hai kết luận sau:

An aerial or elevated view of multiple railway tracks running roughly parallel and converging/diverging through a rail yard or junction. The tracks are set in a trench or cutting with stone or concrete retaining walls visible on both sides. The ground between and around the tracks is covered with gravel ballast and some patches of grass or moss. Several rail switches (points) are visible where tracks branch off. The overall scene appears to be in an urban or semi-urban environment, likely in the UK or Europe based on the track style and infrastructure. No text or numbers are visible in the image.

Hình 5.41

1. Nếu một đoạn thẳng được chấp nối trơn với một cung tròn thì đoạn thẳng đó nằm trên tiếp tuyến của đường tròn chứa cung tròn đó tại điểm chấp nối.

2. Nếu hai cung tròn được chấp nối trơn với nhau thì hai đường tròn chứa hai cung ấy tiếp xúc nhau tại điểm chấp nối.

Để hiểu thêm về vẽ chập nối trơn, em hãy chuẩn bị thước kê và compa để vẽ hình “trái xoan” (H.5.42) theo hướng dẫn sau đây:

The diagram shows an ellipse with labeled points and internal geometric shapes. The ellipse has four directional labels on its perimeter: p (top), m (bottom), q (left), n (right). Inside the ellipse, there is a rectangle with vertices labeled D (top-left), C (top-right), B (bottom-right), and A (bottom-left). The rectangle contains dashed diagonal lines forming an X pattern connecting all four corners. Additionally, there are two interior points labeled E (left-center) and F (right-center), and a point K at the top-center of the rectangle and a point l at the bottom-center of the rectangle. The dashed lines also connect E and F to the corners and midpoints, creating a diamond/rhombus pattern within the rectangle. The figure is labeled 'Hình 5.42' below.

– Vẽ hình chữ nhật $ABCD$ (kích thước tùy ý).

– Xác định trung điểm I của đoạn AB và trung điểm K của đoạn CD.

– Tìm giao điểm $E$ của $AK$ và $DI$; giao điểm $F$ của $BK$ và $CI$.

– Vẽ 4 cung: $\widehat{AmB}$ (tâm $K$), $\widehat{CpD}$ (tâm $I$), $\widehat{BnC}$ (tâm $F$) và $\widehat{DqA}$ (tâm $E$).

Bốn cung tròn vừa vẽ tạo nên hình “trái xoan”. Trong hình đó, tâm của hai cung liên tiếp, chẳng hạn, tâm $K$ của cung $AmB$ và tâm $F$ của cung $BnC$ thẳng hàng với điểm chấp nối $B$, chứng tỏ hai đường tròn $(K)$ và $(F)$ tiếp xúc nhau tại điểm $B$. Điều đó cho phép hai cung này chấp nối trơn với nhau tại $B$.

Em hãy tìm hiểu điều tương tự đối với các cặp cung liên tiếp còn lại để hiểu tại sao các cung tròn đã vẽ đều chập nối trơn với nhau.

Bây giờ em hãy tự mình tìm hiểu và trao đổi với các bạn khác về cách vẽ hai hình sau đây nhé!

This is a geometric diagram illustrating a shape called 'Hình quả trứng' (Egg shape in Vietnamese). The figure is composed of two distinct curves forming an egg-like shape. On the left side, there is a semicircle drawn in green, with points A (top) and B (bottom) as endpoints, and n labeling the left arc. On the right side, there is a black curve forming the right portion of the egg shape, passing through points D (upper right) and E (lower right), with p labeling the rightmost point. Inside the figure, there are several dashed lines emanating from a central point C, radiating outward toward the right boundary curve, suggesting that C is a focal or center point used to construct the right-side curve. Point q is labeled at the upper right area near the curve, and m is labeled at the lower right area. The construction lines (dashed) from C to the boundary suggest the egg shape is constructed geometrically, possibly using varying radii from point C to define the right-side curve, while the left side is a perfect semicircle.

A wind icon depicted with three horizontal lines on the left side representing airflow, and two spiral/curl shapes on the right side representing wind gusts or swirls. The icon is rendered in black on a white background and is commonly used to represent wind or air movement in weather applications and user interfaces.

Biểu tượng "gió" trong dự báo thời tiết

111

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V

A. TRẮC NGHIỆM

5.32. Cho đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ và hai điểm $A, B$. Biết rằng $OA = \sqrt{15}\text{ cm}$ và $OB = 4\text{ cm}$. Khi đó:

A. Điểm $A$ nằm trong $(O)$, điểm $B$ nằm ngoài $(O)$. B. Điểm $A$ nằm ngoài $(O)$, điểm $B$ nằm trên $(O)$. C. Điểm $A$ nằm trên $(O)$, điểm $B$ nằm trong $(O)$. D. Điểm $A$ nằm trong $(O)$, điểm $B$ nằm trên $(O)$.

5.33. Cho Hình 5.43, trong đó $BD$ là đường kính, $\widehat{AOB} = 40^\circ$; $\widehat{BOC} = 100^\circ$. Khi đó:

$\widehat{AOB} = 40^\circ$; $\widehat{BOC} = 100^\circ$. Khi đó: A. $\text{sđ}\widehat{DC} = 80^\circ$ và $\text{sđ}\widehat{AD} = 220^\circ$. B. $\text{sđ}\widehat{DC} = 280^\circ$ và $\text{sđ}\widehat{AD} = 220^\circ$. C. $\text{sđ}\widehat{DC} = 280^\circ$ và $\text{sđ}\widehat{AD} = 140^\circ$. D. $\text{sđ}\widehat{DC} = 80^\circ$ và $\text{sđ}\widehat{AD} = 140^\circ$.

A circle with center O and five points on its circumference labeled A, B, C, D (and an implied fifth point). From the center O, there are radii drawn to points A, B, C, and D on the circle. Two angles are marked at the center O: an angle of 100° formed between two radii (appearing to be between OB and OC or adjacent radii in the upper-right region), and an angle of 40° formed between two radii in the lower region (appearing to be between OA and OB). The figure is labeled 'Hình 5.43' below the circle.

5.34. Cho hai đường tròn $(A; R_1)$, $(B; R_2)$, trong đó $R_2 < R_1$. Biết rằng hai đường tròn $(A)$ và $(B)$ cắt nhau (H.5.44). Khi đó:

A. $AB < R_1 - R_2$. B. $R_1 - R_2 < AB < R_1 + R_2$. C. $AB > R_1 + R_2$. D. $AB = R_1 + R_2$.

The diagram shows two intersecting circles. The larger circle on the left has its center at point A, with radius R1. The smaller circle on the right has its center at point B, with radius R2. The two circles intersect at point C (shown at the top intersection point). Line segments are drawn from A to C (labeled R1), from B to C (labeled R2), and from A to B, forming a triangle ABC. The triangle connects the two centers and one of the intersection points of the circles.

Hình 5.44

5.35. Cho đường tròn $(O; R)$ và hai đường thẳng $a_1$ và $a_2$. Gọi $d_1, d_2$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $O$ đến $a_1$ và $a_2$. Biết rằng $(O)$ cắt $a_1$ và tiếp xúc với $a_2$ (H.5.45). Khi đó: A. $d_1 < R$ và $d_2 = R$. B. $d_1 = R$ và $d_2 < R$. C. $d_1 > R$ và $d_2 = R$. D. $d_1 < R$ và $d_2 < R$.

The technical drawing shows a circle with center O and radius R. Two parallel lines a1 and a2 are tangent to the circle - a1 is tangent at the upper-left portion of the circle (shown as a diagonal line) and a2 is tangent at the bottom of the circle (shown as a horizontal line). Two perpendicular distances are drawn from the center O: d1 is the perpendicular distance from center O to the line a1 (shown with a right angle mark at the point of tangency), and d2 is the perpendicular distance from center O to the line a2 (shown with a right angle mark at the bottom tangent point). Both d1 and d2 are radii of the circle, illustrating that the distance from the center to a tangent line equals the radius R.

Hình 5.45

B. TỰ LUẬN

5.36. Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C). a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).

112

b) Giả sử $A$ là một trong hai giao điểm của đường tròn $(B; BO)$ với đường tròn $(O)$. Tính các góc của tam giác $ABC$.

c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung $AC$ và diện tích hình quạt nằm trong $(O)$ giới hạn bởi các bán kính $OA$ và $OC$, biết rằng $BC = 6$ cm.

5.37. Cho $AB$ là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn $(O; 4\text{ cm})$. Gọi $C$ và $D$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A$ và $B$ qua tâm $O$. a) Hai điểm $C$ và $D$ có nằm trên đường tròn $(O)$ không? Vì sao? b) Biết rằng $ABCD$ là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn $AB$ và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính $OA$ và $OB$.

5.38. Cho điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$, sao cho $AB = 2$ cm và $BC = 1$ cm. Vẽ các đường tròn $(A; 1,5$ cm), $(B; 3$ cm) và $(C; 2$ cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau; b) Không giao nhau; c) Tiếp xúc với nhau.

5.39. Cho tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{A}$ vuông). Vẽ hai đường tròn $(B; BA)$ và $(C; CA)$ cắt nhau tại $A$ và $A'$. Chứng minh rằng:

a) $BA$ và $BA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(C; CA)$; b) $CA$ và $CA'$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(B; BA)$.

5.40. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $(O)$ tại $E$ và cắt $(O')$ tại $F$ ($E$ và $F$ khác $A$). Biết điểm $A$ nằm trong đoạn $EF$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AE$ và $AF$ (H.5.46).

The diagram shows two intersecting circles with various geometric elements. The smaller circle on the left has center O, and the larger circle on the right has center O'. The two circles intersect at points A and B. A line d passes through points E, I, A, K, and F from left to right, acting as a common secant or tangent-related line. Point I is on the smaller circle, point K is on the larger circle. There are right angle marks at point I (on the smaller circle, indicating OI is perpendicular to line d) and at point K (on the larger circle, indicating O'K is perpendicular to line d). The line segment OO' connects the two centers. Point E is to the left on line d outside the smaller circle, and point F is to the right on line d outside the larger circle. The figure illustrates properties of chords and perpendicular bisectors related to two intersecting circles and a common secant line.

a) Chứng minh rằng tứ giác $OO'K'$ là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng $IK = \frac{1}{2} EF$.

c) Khi $d$ ở vị trí nào ($d$ vẫn qua $A$) thì $OO'KI$ là một hình chữ nhật?

Page number

A promotional/educational banner image with a purple and white color scheme. It contains business and data analytics icons including gears, network nodes, bar charts with upward arrows, line graphs, a computer monitor displaying a heartbeat/stock chart, a dollar sign, and a clock. The image appears to be a cover page for a practical activity section related to preparing solutions at required concentrations.

Mục tiêu Tìm hiểu về nồng độ phần trăm và thiết kế bảng tính Excel để phục vụ việc tính toán lượng chất tan và dung môi theo yêu cầu.

Chuẩn bị:

– Ôn tập về nồng độ phần trăm, cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

– Nước tinh khiết; đường cát; muối tinh khiết; cốc đo thể tích; cân đồng hồ (loại 2 kg).

– Nếu có điều kiện, mỗi nhóm chuẩn bị một máy tính cá nhân có phần mềm bảng tính Excel.

CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

HD1. Tính toán lượng chất tan và dung

môi để pha chế dung dịch có nồng độ phần trăm cho trước

Ta cần tính số gam đường cát và số gam nước tinh khiết cần thiết để có thể tạo ra $n = 1000$ ml dung dịch có nồng độ $a\%$. Biết rằng khối lượng riêng của đường cát là $d = 1,1$ g/ml và 1 lít nước tinh khiết nặng 1 kg.

Nồng độ phần trăm $C$ của một dung dịch tính bằng công thức

$C\% = \frac{m_{ct}}{m_{dd}} \cdot 100\%$

trong đó:

• $m_{ct}$ : khối lượng chất tan;

• $m_{dd}$ : khối lượng dung dịch.

Page number

a) Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cần để pha chế. Lập biểu thức tính thể tích và nồng độ dung dịch để chứng minh rằng x, y thoả mãn hệ phương trình

A system of two equations. The first equation is x divided by 1.1, plus y, equals 1000. The second equation is x divided by (x plus y), multiplied by 100, equals a.

b) Biến đổi hệ phương trình trên về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

$\left\{\begin{array}{l}x+1,1y=1\,100\\(100-a)x-ay=0.\end{array}\right.$

Từ đó chứng tỏ nghiệm (x; y) của hệ phương trình này là

A system of two equations defining variables x and y in terms of variable a.

c) Áp dụng: Tính lượng nước và đường cát tương ứng để pha $n = 1\,000$ ml nước đường với nồng độ là $a = 63\%$.

Chú ý. Ở những lớp có điều kiện, có thể tiến hành thêm hoạt động sau.

HĐ2. Xây dựng bảng tính Excel

Thực hiện theo các bước sau để xây dựng bảng tính Excel tính toán lượng chất tan và dung môi cần thiết.

Bước 1. Tạo bảng trên phần mềm Excel, điền các ô thông tin vào bảng tính.

	A	B	C	D	E
1	Nồng độ phần trăm (a %)	Thể tích dung dịch (n ml)	Khối lượng riêng chất tan (g/ml)	Lượng chất tan (g)	Lượng nước cần pha (g)
2
3

Bước 2. Nhập số liệu vào cột nồng độ phần trăm, thể tích dung dịch, khối lượng riêng của đường (1,1 g/ml).

Bước 3. Sử dụng công thức nghiệm ở HĐ1 để nhập công thức vào cột lượng chất tan và lượng nước cần pha.

Bước 4. Hoàn thiện bảng tính: Làm tròn số liệu sau dấu phẩy một chữ số và thêm dấu phân cách hàng nghìn cho thể tích dung dịch và khối lượng. Đóng khung cho bảng.

Thực hành

Tính số gam muối tinh khiết và số gam nước tinh khiết cần thiết để có thể pha chế được 1 000 ml dung dịch nước muối sinh lí 0,9%, biết rằng khối lượng riêng của muối tinh khiết là 2,16 g/ml.

Page number

TÍNH CHIỀU CAO VÀ XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH

Mục tiêu Tính chiều cao, đo khoảng cách giữa hai vị trí mà ở giữa chúng có vật cản hoặc chỉ đến được một trong hai vị trí.

Trong thực tế, nhiều tình huống chúng ta cần đo chiều cao một tòa nhà, một cái cây hay đo khoảng cách giữa hai vị trí mà ở giữa chúng có vật cản hoặc chỉ đến được một trong hai vị trí. Có nhiều biện pháp để thực hiện điều đó, từ những biện pháp hiện đại đến những biện pháp rất đơn giản. Chẳng hạn, sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu điều đó thông qua hoạt động trải nghiệm dưới đây.

Chuẩn bị: Giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi.

Thực hiện: Chia lớp thành bốn nhóm, hai nhóm thực hiện Nhiệm vụ 1, hai nhóm thực hiện Nhiệm vụ 2. Các nhóm thực hiện các dự án theo hướng dẫn và trình bày kết quả trước lớp.

Nhiệm vụ 1. Xác định chiều cao

Mục tiêu: Xác định chiều cao của một tòa nhà trong trường mà không thực hiện đo trực tiếp.

Chuẩn bị, xây dựng ý tưởng: Nhóm thảo luận, xây dựng ý tưởng thực hiện nhiệm vụ và phân công nhiệm vụ.

Thực hiện nhiệm vụ:

The image is composed of two parts. On the left side, there is a geometric diagram showing a right triangle configuration used for measuring the height of a building. The diagram includes points labeled B (top), C (observer position with a surveying instrument), A (base of the building at ground level), H (base of the instrument/tripod), and K (ground point below A). The angle α is marked at point C, representing the elevation angle from the observer to point B. Side 'a' is the horizontal distance from H/C to K, side 'b' is the length from H to C (instrument height), and side 'c' is the vertical height from A to B (the height of the building being measured). The triangle CAB is a right triangle with the right angle at A. A dashed horizontal line connects B to the top of the school building on the right, indicating that B corresponds to the top of the school. On the right side of the image is an illustration of a school building with a clock, windows, columns, and a sign reading 'SCHOOL'. The overall diagram illustrates a surveying scenario where a person uses a theodolite or similar instrument at point C to measure the angle α to determine the height 'c' of the school building.

Page number

Bước 1. Đặt giác kế thẳng đứng cách chân toà nhà một khoảng cách $a$ mét, giả sử chiều cao của giác kế là $b$ mét. Quay ống ngắm của giác kế sao cho ta nhìn thấy đỉnh $B$ của toà nhà. Đọc trên giác kế số đo $\alpha$ của góc $BCA$.

Bước 2. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và máy tính bỏ túi ta tính được $c = AB = AC \cdot \tan\alpha$.

Bước 3. Tính chiều cao của tòa nhà là $b + c$ (m).

Báo cáo kết quả: Sau khi thực hiện đo đạc và tính toán, nhóm trình bày trước lớp và tổ chức đánh giá nhiệm vụ.

Nhiệm vụ 2. Xác định khoảng cách

Mục tiêu: Xác định khoảng cách giữa hai vị trí giả định trên sân trường (như hai điểm bên hai bờ sông). Vị trí hai điểm giả định do giáo viên xác định.

Chuẩn bị, xây dựng ý tưởng: Nhóm thảo luận, xây dựng ý tưởng thực hiện nhiệm vụ và phân công nhiệm vụ.

Thực hiện nhiệm vụ:

Để đo khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ (giữa hai điểm này có vật cản hoặc chỉ đến được một trong hai vị trí $A, B$), ta thực hiện như sau:

Bước 1. Từ điểm $A$ ta kẻ tia $Ax \perp AB$. Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $AC = a$ mét. Tại vị trí $C$ sử dụng giác kế ngắm tới điểm $B$. Đọc trên giác kế số đo góc $\alpha$ của góc $ACB$.

Bước 2. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và MTCT ta tính được $AB = AC \cdot \tan\alpha = a\tan\alpha$.

Báo cáo kết quả: Sau khi thực hiện đo đạc và tính toán, nhóm trình bày trước lớp và tổ chức đánh giá nhiệm vụ.

117

BẢNG TRA CỨU TỪ NGỮ

B

B Bất đẳng thức 32 Bất phương trình bậc nhất một ẩn 38 C Căn bậc ba 60 Căn bậc hai 45 Căn thức bậc ba 61 Căn thức bậc hai 46 cosin của góc α 68 cotang của góc α 68 D – Đ Dây cung 87 Diện tích hình quạt tròn 93 Diện tích hình vành khuyên 93 Điều kiện xác định (của căn thức bậc hai) 46 Điều kiện xác định (của phương trình chứa ẩn ở mẫu) 28 Độ dài cung tròn 91 Đường tròn 83 G Góc ở tâm 88 H Hai bất đẳng thức cùng chiều 32 Hai bất đẳng thức ngược chiều 32 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 8 Hình quạt tròn 92 Hình vành khuyên 92

Page number

N

Nghiệm của bất phương trình 39 Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 8 P Phương pháp cộng đại số 13 Phương pháp thế 11 Phương trình bậc nhất hai ẩn 6 Phương trình chứa ẩn ở mẫu 28 Phương trình tích 27 S sin của góc α 68 T tang của góc α 68 Tâm đối xứng của đường tròn 85 Tiếp điểm 100 Tiếp tuyến của đường tròn 100 Tính chất bắc cầu 33 Trục đối xứng của đường tròn 85 V Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 99 Vị trí tương đối của hai đường tròn 104

BẢNG GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

THUẬT NGỮ	GIẢI THÍCH
Bất đẳng thức	Hệ thức có dạng a > b (hay a < b, a ≥ b, a ≤ b)
Bất phương trình bậc nhất một ẩn	Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0) trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0
Căn bậc ba	Căn bậc ba của số thực a là số thực x sao cho x³ = a
Căn bậc hai	Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho x² = a
Căn thức bậc hai	Biểu thức có dạng √A, trong đó A là một biểu thức đại số
Cung tròn	Phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm nằm trên đường tròn
Dây cung	Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường tròn
Điều kiện xác định của phương trình	Điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình có nghĩa
Giải bất phương trình	Tìm nghiệm của bất phương trình đó
Giải tam giác vuông	Tìm tất cả các cạnh và các góc của một tam giác vuông, khi biết hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn của tam giác vuông đó
Góc ở tâm	Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn
Hai đường tròn cắt nhau	Hai đường tròn có hai điểm chung
Hai đường tròn không giao nhau	Hai đường tròn không có điểm chung
Hai đường tròn tiếp xúc nhau	Hai đường tròn có đúng một điểm chung
Hai góc phụ nhau	Hai góc nhọn có tổng bằng 90°
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn	Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hình quạt tròn	Một phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó
Hình vành khuyên	Phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm
Nghiệm của bất phương trình	Số x₀ là một nghiệm của bất phương trình A(x) < B(x) nếu A(x₀) < B(x₀) là khẳng định đúng
Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn	Cặp số (x₀; y₀) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ
Phép khai căn bậc hai	Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm
Phương trình bậc nhất hai ẩn	Hệ thức có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)
Tỉ số lượng giác của góc nhọn	Bao gồm sin, cosin, tang và cotang của góc nhọn đó
Tiếp điểm	Điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn hoặc giữa hai đường tròn
Tiếp tuyến của đường tròn	Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn
Trục căn thức ở mẫu	Phép biến đổi làm mất căn thức ở mẫu của một biểu thức

Number

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam xin trân trọng cảm ơn các tác giả có tác phẩm, tư liệu được sử dụng, trích dẫn trong cuốn sách này.

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Chủ tịch Hội đồng thành viên – Tổng Giám đốc NGUYỄN TIẾN THANH

Chịu trách nhiệm nội dung: Tổng biên tập PHẠM VĨNH THÁI

Biên tập nội dung: ĐẶNG THỊ MINH THU – VŨ THỊ VÂN Biên tập tái bản: HOÀNG THỊ THANH Biên tập mỹ thuật: PHẠM VIỆT QUANG Thiết kế sách: VŨ XUÂN NHỰ Trình bày bìa: NGUYỄN BÍCH LA Minh họa: ĐINH THANH LIÊM Sửa bản in: PHAN THỊ THANH BÌNH – PHẠM THỊ TÌNH Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN DỊCH VỤ XUẤT BẢN GIÁO DỤC HÀ NỘI

Bản quyền © (2024) thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Xuất bản phẩm đã đăng kí quyền tác giả. Tất cả các phần của nội dung cuốn sách này đều không được sao chép, lưu trữ, chuyển thể dưới bất kì hình thức nào khi chưa có sự cho phép bằng văn bản của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

TOÁN 9 - TẬP MỘT

Mã số: G1HH9T003h26 In ... bản, (QĐ ...): khổ 19 x 26,5 cm. Đơn vị in: Địa chỉ: Số ĐKXB: 7-2026/CXBIPH/86-09/GD. Số QĐXB: .../QĐ - GD - HN ngày ... tháng ... năm .... In xong và nộp lưu chiểu quý: năm 20... Mã số ISBN: Tập một: 978-604-0-39236-7 Mã số ISBN: Tập hai: 978-604-0-39237-4

A small UI element or label with a purple/lavender left border and the number 120 displayed in gray text on a white background.

Medal with red and yellow striped ribbon and gold medallion HUÂN CHƯƠNG HỒ CHÍ MINH

Grid of 17 grade 9 textbook covers: Ngữ văn 9 (two volumes), Toán 9 (two volumes), Khoa học tự nhiên 9, Công nghệ 9 (four modules), Lịch sử và Địa lí 9, Mĩ thuật 9, Âm nhạc 9, Giáo dục công dân 9, Tin học 9, Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp 9, Giáo dục thể chất 9, Tiếng Anh 9 NGỮ VĂN 9 NGỮ VĂN 9 TOÁN 9 TOÁN 9 KHOA HỌC TỰ NHIÊN 9 CÔNG NGHỆ 9 CÔNG NGHỆ 9 CÔNG NGHỆ 9 CÔNG NGHỆ 9 LỊCH SỬ VÀ ĐỊA LÍ 9 MĨ THUẬT 9 ÂM NHẠC 9 GIÁO DỤC CÔNG DÂN 9 TIN HỌC 9 HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM, HƯỚNG NGHIỆP 9 GIÁO DỤC THỂ CHẤT 9 TIẾNG ANH 9

BỘ SÁCH GIÁO KHOA LỚP 9 – KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

1. Ngữ văn 9, tập một 2. Ngữ văn 9, tập hai 3. Toán 9, tập một 4. Toán 9, tập hai 5. Khoa học tự nhiên 9 6. Công nghệ 9 Định hướng nghề nghiệp 7. Công nghệ 9 Trải nghiệm nghề nghiệp Mô đun Lắp đặt mạng điện trong nhà 8. Công nghệ 9 Trải nghiệm nghề nghiệp Mô đun Trồng cây ăn quả

2. Công nghệ 9 Trải nghiệm nghề nghiệp Mô đun Chế biến thực phẩm 10. Lịch sử và Địa lí 9 11. Mĩ thuật 9 12. Âm nhạc 9 13. Giáo dục công dân 9 14. Tin học 9 15. Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp 9 16. Giáo dục thể chất 9 17. Tiếng Anh 9 – Global Success – SHS

Website: https://www.nxbgd.vn

Kết nối tri thức với cuộc sống logo: gold and green leaf shapes KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG

ISBN barcode 9786040392367 ISBN 978-604-0-39236-7 9 786040 392367

Giá: 15.500 đ