Bài 23 BẢNG TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI VÀ BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI

Khái niệm, thuật ngữ: Tần số tương đối; Bảng tần số tương đối.

Kiến thức, kĩ năng: Thiết lập bảng tần số tương đối, biểu đồ tần số tương đối. Giải thích ý nghĩa và vai trò của tần số tương đối trong thực tiễn.

Ở bài trước chúng ta đã được học các cách biểu diễn dãy dữ liệu để dễ dàng thấy được tần số xuất hiện của mỗi giá trị trong dãy. Trong bài này, chúng ta sẽ tìm hiểu các cách biểu diễn dãy dữ liệu để dễ dàng thấy được tỉ lệ xuất hiện của các giá trị trong dãy.

1. BẢNG TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI

Tần số tương đối và bảng tần số tương đối

HĐ1. Có một túi kín đựng 10 quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả có một trong các màu xanh, đỏ hoặc vàng. Thực hiện 30 lần lấy bóng, mỗi lần lấy 1 quả, ghi lại màu quả bóng được lấy ra sau đó trả lại bóng vào túi và trộn đều.

a) Từ dữ liệu ghi lại, cho biết tần số xuất hiện của các quả bóng màu xanh, đỏ, vàng. Lập tỉ số giữa tần số và số lần lấy bóng.

b) Đoán xem trong túi số lượng bóng có màu gì là ít nhất, nhiều nhất.

Cho $x_1, x_2, \ldots, x_k$ là các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu cỡ $n$ .

Tần số tương đối $f_i$ của giá trị $x_i$ là tỉ số giữa tần số $m_i$ của $x_i$ với $n$ .

Bảng sau đây được gọi là bảng tần số tương đối:

Giá trị	$x_1$	$x_2$	...	$x_k$
Tần số tương đối	$f_1$	$f_2$	...	$f_k$

Ở đó $n = m_1 + \ldots + m_k$ và $f_1 = \dfrac{m_1}{n} \cdot 100\%$ là tần số tương đối của $x_1$ , $\ldots$ , $f_k = \dfrac{m_k}{n} \cdot 100\%$ là tần số tương đối của $x_k$ .

Tần số tương đối còn gọi là tần suất.

Hình: Nhân vật hoạt hình được vẽ cách điệu từ các ký hiệu toán học như dấu cộng, dấu phần trăm và các hình khối.

? Lập bảng tần số tương đối cho dãy dữ liệu thu được trong HĐ1.

Chú ý: Người ta còn cho bảng tần số tương đối ở dạng cột: cột thứ nhất ghi các giá trị, cột thứ hai ghi tần số tương đối của các giá trị đó.

Ví dụ 1

Thu thập dữ liệu về chất lượng không khí tại một địa điểm trong 30 ngày mùa xuân cho kết quả như sau:

M1, M1, M2, M2, M2, M2, M1, M2, M2, M2, M2, M2, M2, M2, M2,

M4, M1, M3, M3, M3, M4, M4, M1, M1, M1, M1, M3, M3, M3, M1.

(M1: Tốt; M2: Trung bình; M3: Kém; M4: Xấu)

a) Lập bảng tần số tương đối cho dãy dữ liệu trên.

b) Trong một ngày xuân, khả năng cao nhất địa điểm này có chất lượng không khí ở mức nào?

Giải

a) Tổng số ngày quan sát là $n = 30$ . Số ngày có chất lượng không khí ở các mức M1, M2, M3, M4 tương ứng là $m_1 = 9$ , $m_2 = 12$ , $m_3 = 6$ , $m_4 = 3$ . Do đó các tần số tương đối cho các mức M1, M2, M3, M4 lần lượt là:

$f_1 = \dfrac{9}{30} \cdot 100\% = 30\%$ ; $f_2 = \dfrac{12}{30} \cdot 100\% = 40\%$ ; $f_3 = \dfrac{6}{30} \cdot 100\% = 20\%$ ; $f_4 = \dfrac{3}{30} \cdot 100\% = 10\%$ .

Chất lượng không khí	M1	M2	M3	M4
Tần số tương đối	30%	40%	20%	10%

b) Trong một ngày xuân, khả năng cao nhất địa điểm này có chất lượng không khí ở mức M2, tức là mức Trung bình.

Nhận xét. Tần số tương đối của một giá trị là ước lượng cho xác suất xuất hiện giá trị đó.

Luyện tập 1

Quay 50 lần một tấm bìa hình tròn được chia thành ba hình quạt với các màu xanh, đỏ, vàng. Quan sát và ghi lại mũi tên chỉ vào hình quạt có màu nào khi tấm bìa dừng lại. Kết quả thu được như sau:

Hình: Tấm bìa hình tròn chia ba hình quạt màu xanh, đỏ, vàng và mũi tên chỉ vào hình quạt; bên cạnh là kết quả ghi bằng gạch chéo — Xanh: 13 lần, Đỏ: 25 lần, Vàng: 12 lần.

a) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả thu được.

b) Ước lượng xác suất mũi tên chỉ vào hình quạt màu đỏ.

2 BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI

Tìm hiểu về biểu đồ tần số tương đối

HĐ2

Có ba phương án thi đấu tại giải bóng đá khối lớp 9 của một trường như sau:

Phương án 1: Các đội đấu vòng tròn, tính điểm;
Phương án 2: Chia các đội thành hai bảng, mỗi bảng lấy hai đội vào trận bán kết;
Phương án 3: Các đội bốc thăm ghép cặp, đấu loại trực tiếp.

Ban tổ chức đã lấy phiếu khảo sát ý kiến. Kết quả được Bình và Nam biểu diễn bằng các biểu đồ như sau:

Hình: Biểu đồ cột “Tỉ lệ ủng hộ các phương án thi đấu” với trục tung “Tỉ lệ” (0%–80%), trục hoành “Phương án thi đấu”: Phương án 1 — 28%, Phương án 2 — 61%, Phương án 3 — 11%. (Hình 7.9. Biểu đồ cột)

Hình: Biểu đồ hình quạt tròn cùng tiêu đề “Tỉ lệ ủng hộ các phương án thi đấu”, ba phần 28% (Phương án 1), 61% (Phương án 2), 11% (Phương án 3), có chú giải màu bên phải. (Hình 7.10. Biểu đồ hình quạt tròn)

a) Đọc và giải thích mỗi biểu đồ trên.

b) Lập bảng tần số tương đối cho kết quả khảo sát ý kiến.

Biểu đồ biểu diễn bảng tần số tương đối được gọi là biểu đồ tần số tương đối. Dạng thường gặp của biểu đồ tần số tương đối là biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn.
Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1. Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt dùng để biểu diễn tần số tương đối của các giá trị theo công thức $360^{\circ} \cdot f_{i}$ với $i = 1,..., k$ .
- Bước 2. Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt có số đo cung tương ứng được xác định trong Bước 1.
- Bước 3. Định dạng các hình quạt tròn (thường bằng cách tô màu), ghi tần số tương đối, chú giải và tiêu đề.

Ví dụ 2

Cho bảng tần số tương đối về loại phim yêu thích của các học sinh trong lớp 9A như sau:

Loại phim	Hài	Khoa học viễn tưởng	Kinh dị
Tỉ lệ bạn yêu thích	50%	37,5%	12,5%

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối trên.

Giải

Bước 1. Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt biểu diễn các tần số tương đối cho mỗi loại phim:

Hài: $360^{\circ} \cdot 50\% = 180^{\circ}$ ;
Khoa học viễn tưởng: $360^{\circ} \cdot 37,5\% = 135^{\circ}$ ;
Kinh dị: $360^{\circ} \cdot 12,5\% = 45^{\circ}$ .

Bước 2. Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt (H.7.11).

Hình: Hình tròn được chia thành ba hình quạt bằng các đường kẻ xanh dương nhạt (Hình 7.11).

Hình 7.11

Hình: Biểu đồ hình quạt tròn có tiêu đề «Tỉ lệ học sinh yêu thích các loại phim»; ba phần Xanh dương 50%, Đỏ 37,5%, Xanh lá 12,5%; chú giải: Hài (xanh), Khoa học viễn tưởng (đỏ), Kinh dị (xanh lá) (Hình 7.12).

Hình 7.12

Bước 3. Định dạng các hình quạt tròn, ghi tỉ lệ phần trăm, chú giải và tiêu đề (H.7.12).

Luyện tập 2

Bảng tần số tương đối sau cho biết tỉ lệ học sinh đánh giá độ khó của đề thi học kì môn Toán theo các mức độ.

Đánh giá	Rất khó	Khó	Trung bình	Dễ
Tỉ lệ	10%	25%	45%	20%

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối này.

Tranh luận

Bạn Bình phát phiếu (H.7.13) lấy ý kiến bình chọn của 40 bạn trong lớp về địa điểm đi dã ngoại. Kết quả bạn Bình thu được như sau:

Địa điểm	Vườn quốc gia Ba Vì	Vườn quốc gia Cát Bà	Vườn quốc gia Cúc Phương
Tỉ lệ bạn bình chọn	70%	30%	50%

Hình: Tờ phiếu «PHIẾU BÌNH CHỌN ĐỊA ĐIỂM ĐI DÃ NGOẠI», ghi chú «(Bạn có thể lựa chọn nhiều hơn 1 địa điểm)», các lựa chọn A. Vườn quốc gia Ba Vì.; B. Vườn quốc gia Cát Bà.; C. Vườn quốc gia Cúc Phương. (Hình 7.13).

Hình 7.13

Tớ sẽ dùng biểu đồ hình quạt tròn để biểu diễn bảng thống kê này.

Không được. Cậu phải dùng biểu đồ cột để biểu diễn.

Ý kiến của bạn thế nào?

BÀI TẬP

Bài 7.6

Lớp 9A có 40 bạn học sinh. Trong đó, có 20 bạn mặc áo cỡ M, 13 bạn mặc áo cỡ S và 7 bạn mặc áo cỡ L. Hãy lập bảng tần số tương đối.

Bài 7.7

Lớp 9B khảo sát phần mềm học trực tuyến yêu thích của các bạn và thu được biểu đồ tranh sau:

Phần mềm	Số học sinh
Skype	👤👤👤
Zoom	👤👤👤👤👤👤👤👤👤👤
Google Meet	👤👤👤👤👤👤

Hình: Biểu đồ tranh hai cột — cột phần mềm (Skype, Zoom, Google Meet) và cột biểu tượng hình người thể hiện số học sinh (Skype 3 biểu tượng, Zoom 10 biểu tượng, Google Meet 6 biểu tượng).

(Mỗi biểu tượng hình người biểu diễn cho 2 học sinh)

Hãy lập bảng tần số tương đối cho dữ liệu trên.

Bài 7.8

Một tấm bìa hình tròn được chia thành 4 hình quạt màu xanh, đỏ, tím, vàng. Tiến hành quay tấm bìa 150 lần và ghi lại kết quả như bảng sau:

Màu	Xanh	Đỏ	Tím	Vàng
Số lần	60	30	40	20

a) Lập bảng tần số tương đối.

b) Ước lượng xác suất quay được màu xanh, màu đỏ, màu tím, màu vàng.

c) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn tần số tương đối.

Bài 7.9

Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, năm 2021 lực lượng lao động của Việt Nam là 50,5 triệu người, trong đó: khu vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản có 13,9 triệu người; khu vực công nghiệp và xây dựng có 16,9 triệu người; khu vực dịch vụ có 19,7 triệu người.

a) Lập bảng tần số tương đối.

b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn tần số tương đối.

c) Tính tỉ lệ lao động không làm việc trong khu vực nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản.

Bài 7.10

Bảng sau thống kê mức tăng trưởng GDP năm 2022 theo khu vực kinh tế:

Khu vực kinh tế	Mức tăng trưởng
Nông nghiệp, lâm nghiệp và thuỷ sản	3,36%
Công nghiệp và xây dựng	7,78%
Dịch vụ	9,99%

(Theo Tổng cục Thống kê)

a) Bảng trên thuộc loại bảng nào?

b) Muốn biểu diễn dữ liệu trên bằng biểu đồ, nên chọn loại biểu đồ nào? Vì sao?

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Một vận động viên bắn 30 viên đạn vào bia với các điểm số thu được như sau:

10, 8, 9, 9, 10, 9, 9, 9, 8, 7, 10, 10, 9, 8, 7, 10, 9, 8, 7, 9, 9, 9, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, 10.

a) Lập bảng tần số và tần số tương đối cho dãy dữ liệu trên.

b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số thu được ở câu a.

Giải

a) Số lần vận động viên được 10, 9, 8, 7 điểm tương ứng là 8, 12, 7, 3. Ta có bảng tần số sau:

Điểm	10	9	8	7
Tần số	8	12	7	3

Tổng số lần bắn là $n = 30$ .

Tỉ lệ được 10, 9, 8, 7 điểm tương ứng là $\frac{8}{30} \cdot 100\% \approx 26,7\%$ ; $\frac{12}{30} \cdot 100\% = 40\%$ ; $\frac{7}{30} \cdot 100\% \approx 23,3\%$ ; $\frac{3}{30} \cdot 100\% = 10\%$ .

Ta có bảng tần số tương đối sau:

Điểm	10	9	8	7
Tần số tương đối	26,7%	40%	23,3%	10%

b) Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng (H.7.14).

Hình: Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng có tiêu đề «Kết quả bắn súng của vận động viên», trục tung ghi «Tần số» (0 đến 14), trục hoành ghi «Điểm» (10, 9, 8, 7), các điểm (10; 8), (9; 12), (8; 7), (7; 3) được nối bằng đoạn thẳng, mỗi điểm ghi tần số 8, 12, 7, 3 (Hình 7.14).

Ví dụ 2

Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường Trung học cơ sở.

Loại sách	Sách giáo khoa	Sách tham khảo	Truyện ngắn	Tiểu thuyết
Số lượt	20	80	70	30

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.

b) Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được ở câu a.

Giải

a) Tổng số lượt mượn sách là $20 + 80 + 70 + 30 = 200$ .

Tỉ lệ lượt mượn sách giáo khoa, sách tham khảo, truyện ngắn, tiểu thuyết tương ứng là

$\frac{20}{200} \cdot 100\% = 10\%;\quad \frac{80}{200} \cdot 100\% = 40\%;\quad \frac{70}{200} \cdot 100\% = 35\%;\quad \frac{30}{200} \cdot 100\% = 15\%.$

Ta có bảng tần số tương đối như sau:

Loại sách	Sách giáo khoa	Sách tham khảo	Truyện ngắn	Tiểu thuyết
Tần số tương đối	10%	40%	35%	15%

b) Số đo cung tương ứng của các hình quạt biểu diễn tỉ lệ các loại sách được mượn là:

Sách giáo khoa: $360^\circ \cdot 10\% = 36^\circ$ ;

Sách tham khảo: $360^\circ \cdot 40\% = 144^\circ$ ;

Truyện ngắn: $360^\circ \cdot 35\% = 126^\circ$ ;

Tiểu thuyết: $360^\circ \cdot 15\% = 54^\circ$ .

Biểu đồ hình quạt tròn như Hình 7.15.

Hình: Hình 7.15 — biểu đồ hình quạt tròn «Tỉ lệ mượn các loại sách tại thư viện» (Sách giáo khoa 10%, Sách tham khảo 40%, Truyện ngắn 35%, Tiểu thuyết 15%).

BÀI TẬP

7.11. Bảng thống kê sau cho biết số lượng học sinh của lớp 9B theo mức độ cận thị.

Mức độ	Không cận thị	Cận thị nhẹ	Cận thị vừa	Cận thị nặng
Số học sinh	10	13	12	5

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng thống kê trên.

b) Đa số học sinh của lớp 9B cận thị hay không cận thị?

7.12

7.12. Tỉ lệ bình chọn các tiết mục văn nghệ của các lớp 9A, 9B, 9C, 9D tham gia hội diễn văn nghệ khối lớp 9 như sau:

Lớp	9A	9B	9C	9D
Tỉ lệ học sinh bình chọn	35%	25%	30%	10%

Biết rằng có 300 học sinh tham gia bình chọn. Lập bảng tần số biểu diễn số học sinh bình chọn cho tiết mục văn nghệ của mỗi lớp.

7.13

7.13. Bạn Hoàng khảo sát ý kiến của các bạn trong tổ về chất lượng phục vụ của căng tin trường thu được kết quả sau:

A, B, C, B, A, A, B, A, B, A,

trong đó A là mức Tốt, B là mức Trung bình, C là mức Kém. Hãy lập bảng tần số và bảng tần số tương đối biểu diễn kết quả bạn Hoàng thu được.

7.14

7.14. Biểu đồ cột Hình 7.16 cho biết cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9 trong trường.

Hình: Biểu đồ cột “Cỡ giày của các bạn nam khối lớp 9”, trục dọc “Số học sinh” (thang 0–40), trục ngang “Cỡ giày” với các cỡ 36, 37, 38, 39, 40; số học sinh lần lượt 28, 37, 30, 10, 15. (Hình 7.16)

Lập bảng tần số và bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

7.15

7.15. Cho bảng tần số sau:

Điểm thi môn Toán	6	7	8	9	10
Số học sinh	5	8	12	10	4

Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng cho bảng tần số trên.

7.16

7.16. Theo dõi thời tiết tại một điểm du lịch trong 30 ngày người ta thu được bảng sau:

Thời tiết	Không mưa	Mưa nhỏ	Mưa to
Số ngày	10	8	12

a) Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn bảng tần số tương đối thu được.

b) Ước lượng xác suất để một ngày trời có mưa ở điểm du lịch này.