HocZui
Tất cả SGK

SGK Toán 9 (từ 2026) — Tập 2

Bài 24 BẢNG TẦN SỐ, TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI GHÉP NHÓM VÀ BIỂU ĐỒ

Trang in 46–54 · Xem trang 47 của PDF

Luyện bài này

Bài 24 BẢNG TẦN SỐ, TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI GHÉP NHÓM VÀ BIỂU ĐỒ

Khái niệm, thuật ngữ

  • Bảng tần số ghép nhóm
  • Bảng tần số tương đối ghép nhóm
  • Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

Kiến thức, kĩ năng

  • Thiết lập bảng tần số ghép nhóm, bảng tần số tương đối ghép nhóm.
  • Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm.

Để tìm hiểu về thời gian tự học trong ngày của học sinh, giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã phát phiếu hỏi theo mẫu bên cho các bạn trong lớp.

Chúng ta biểu diễn dữ liệu thu được như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu trong bài học này!

Hình: Một hộp văn bản màu vàng chứa câu hỏi khảo sát về thời gian tự học.

Mỗi tối trong tuần em dành bao nhiêu thời gian để tự học?

A. Từ 0 đến dưới 1 giờ.

B. Từ 1 đến dưới 2 giờ.

C. Từ 2 đến dưới 3 giờ.

D. Từ 3 đến dưới 4 giờ.

1 BẢNG TẦN SỐ, TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI GHÉP NHÓM

Tìm hiểu bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm

HĐ1 Giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã thu được kết quả như sau: Thời gian tự học dưới 1 giờ có 10 bạn; từ 1 giờ đến dưới 2 giờ có 15 bạn; từ 2 giờ đến dưới 3 giờ có 8 bạn; từ 3 giờ đến dưới 4 giờ có 7 bạn. Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thiện các bảng sau vào vở:

Bảng 7.1

Thời gian (giờ)$[0; 1)$$[1; 2)$$[2; 3)$$[3; 4)$
Tần số????

Bảng 7.2

Thời gian (giờ)$[0; 1)$$[1; 2)$$[2; 3)$$[3; 4)$
Tần số tương đối????

Hình: Một nhân vật hoạt hình màu xanh lá cây đang chỉ tay vào ghi chú.

Nhóm số liệu [a;b)[a; b) là nhóm gồm các số liệu lớn hơn hoặc bằng aa và nhỏ hơn bb.

Bảng 7.1 được gọi là bảng tần số ghép nhóm, bảng 7.2 được gọi là bảng tần số tương đối ghép nhóm.

Trong nhiều trường hợp, ta khó biết giá trị chính xác của số liệu mà chỉ biết nó thuộc một nhóm số liệu nào đó. Nhóm số liệu thường gặp là [a;b)[a; b), trong đó aa là đầu mút trái, bb là đầu mút phải.

46

Bảng tần số ghép nhóm là bảng tần số của các nhóm số liệu:

Nhóm$[a_1; a_2)$$[a_2; a_3)$...$[a_k; a_{k+1})$
Tần số$m_1$$m_2$...$m_k$

Bảng 7.3. Bảng tần số ghép nhóm

Tần số mim_i của nhóm [ai;ai+1)[a_i; a_{i+1}) là số giá trị của mẫu số liệu lớn hơn hoặc bằng aia_i và nhỏ hơn ai+1a_{i+1}.

Bảng tần số tương đối ghép nhóm là bảng tần số tương đối của các nhóm số liệu:

Nhóm$[a_1; a_2)$$[a_2; a_3)$...$[a_k; a_{k+1})$
Tần số tương đối$f_1$$f_2$...$f_k$

Bảng 7.4. Bảng tần số tương đối ghép nhóm

trong đó n=m1+...+mkn = m_1 + ... + m_k và

f1=m1n⋅100%f_1 = \dfrac{m_1}{n} \cdot 100\% là tần số tương đối của nhóm [a1;a2)[a_1; a_2), ...,

fk=mkn⋅100%f_k = \dfrac{m_k}{n} \cdot 100\% là tần số tương đối của nhóm [ak;ak+1)[a_k; a_{k+1}).

Ví dụ 1

Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9C cho kết quả như sau:

156 157 164 166 166 165 157 154 155 158 160 163 163

161 162 159 159 160 160 160 159 158 160 160 158 163

162 162 162 161 162 161 163 161 163 161 164 166 165 165.

Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm cho mẫu số liệu này với các nhóm [155;158)[155; 158), [158;161)[158; 161), [161;164)[161; 164), [164;167)[164; 167).

Giải

Số học sinh có chiều cao từ 150 cm đến dưới 158 cm là 5 học sinh; từ 158 cm đến dưới 161 cm là 12 học sinh; từ 161 cm đến dưới 164 cm là 15 học sinh; từ 164 cm đến dưới 167 cm là 8 học sinh. Do đó, tần số tương ứng với các nhóm là m1=5m_1 = 5, m2=12m_2 = 12, m3=15m_3 = 15, m4=8m_4 = 8. Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Chiều cao (cm)$[150; 158)$$[158; 161)$$[161; 164)$$[164; 167)$
Số học sinh512158

Tổng số học sinh trong lớp là n=5+12+15+8=40n = 5 + 12 + 15 + 8 = 40. Tỉ lệ học sinh có chiều cao từ 150 cm đến dưới 158 cm là 540⋅100%=12,5%\dfrac{5}{40} \cdot 100\% = 12{,}5\%; từ 158 cm đến dưới 161 cm là 1240⋅100%=30%\dfrac{12}{40} \cdot 100\% = 30\%; từ 161 cm đến dưới 164 cm là 1540⋅100%=37,5%\dfrac{15}{40} \cdot 100\% = 37{,}5\%; từ 164 cm đến dưới 167 cm là 840⋅100%=20%\dfrac{8}{40} \cdot 100\% = 20\%. Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:

Chiều cao (cm)$[150; 158)$$[158; 161)$$[161; 164)$$[164; 167)$
Tần số tương đối12,5%30%37,5%20%

47

Luyện tập 1

Cho bảng tần số ghép nhóm về tuổi thọ của một số ong mật cái như sau:

Tuổi thọ (ngày)[30; 40)[40; 50)[50; 60)
Tần số122315

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.

b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho bảng thống kê này.

Ví dụ 2

Chỉ số chất lượng không khí (AQI) được phân loại như sau: Tốt (từ 0 đến dưới 50), Trung bình (từ 50 đến dưới 100), Kém (từ 100 đến dưới 150), Xấu (từ 150 đến dưới 200). Dãy dữ liệu sau cho biết chất lượng không khí ở Hà Nội trong thời gian từ 4-2-2023 đến 5-3-2023.

Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình, Trung bình,

Trung bình, Trung bình, Kém, Kém, Kém, Kém, Xấu, Xấu, Kém, Xấu,

Xấu, Xấu, Kém, Kém, Kém, Kém, Kém, Xấu, Kém, Xấu, Xấu, Xấu, Xấu, Xấu.

(Theo iqair.com)

Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm theo chỉ số AQI cho dãy dữ liệu trên.

Giải. Trong dãy dữ liệu trên có 8 ngày có chất lượng không khí ở mức Trung bình, 11 ngày ở mức Kém và 11 ngày ở mức Xấu.

Chỉ số AQI[50; 100)[100; 150)[150; 200)
Tần số81111

Tần số tương đối của các mức chất lượng không khí lần lượt là:

Trung bình: 830⋅100%≈26,6%\dfrac{8}{30} \cdot 100\% \approx 26{,}6\%;

Kém: 1130⋅100%≈36,7%\dfrac{11}{30} \cdot 100\% \approx 36{,}7\%;

Xấu: 1130⋅100%≈36,7%\dfrac{11}{30} \cdot 100\% \approx 36{,}7\%.

Chỉ số AQI[50; 100)[100; 150)[150; 200)
Tần số tương đối26,6%36,7%36,7%

Luyện tập 2

Chỉ số phát triển con người (HDI) được chia thành 4 nhóm: Nhóm 1 (≥0,8\ge 0{,}8), Nhóm 2 (từ 0,7 đến dưới 0,8), Nhóm 3 (từ 0,55 đến dưới 0,7), Nhóm 4 (dưới 0,55). Dãy dữ liệu sau cho biết chỉ số HDI năm 2021 của 11 quốc gia Đông Nam Á.

0,939 0,829 0,803 0,8 0,705 0,703 0,699 0,607 0,607 0,593 0,585

48

Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm sau:

Chỉ số HDI[0; 0,55)[0,55; 0,7)[0,7; 0,8)[0,8; 1,0)
Tần số????

2 BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI GHÉP NHÓM DẠNG CỘT

Tìm hiểu về biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột

HĐ2 Biểu đồ Hình 7.17 cho biết tỉ lệ cân nặng của 62 trẻ sơ sinh tại một bệnh viện.

Hình: Biểu đồ cột màu xanh có tiêu đề « Tỉ lệ cân nặng của trẻ sơ sinh », trục đứng « Tần số tương đối » (0% đến 30%, bước 5%), trục ngang « Cân nặng (kg) » với các mốc 2,5; 2,7; 2,9; 3,1; 3,3; 3,5; 3,7; 3,9; 4,1; tám cột kề nhau với tần số tương đối lần lượt 3,2%; 6,5%; 11,3%; 19,4%; 24,2%; 16,1%; 12,9%; 6,4% (Hình 7.17).

a) Đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

b) Lập bảng thống kê cho số liệu được biểu diễn trên biểu đồ. Bảng thống kê đó có phải là bảng tần số tương đối ghép nhóm không?

  • Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột gồm các hình cột kề nhau, chiều cao mỗi cột biểu diễn tần số tương đối của một nhóm số liệu.

  • Các bước vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột:

    Bước 1: Vẽ trục đứng, trục ngang và xác định đơn vị trên mỗi trục.

    Bước 2: Dựng các hình cột (kề nhau), chiều cao mỗi cột bằng tần số tương đối của nhóm số liệu tương ứng.

    Bước 3: Ghi chú giải cho các trục, các cột và tiêu đề cho biểu đồ.

Biểu đồ tần số tương đối (tần số) ghép nhóm dạng cột còn gọi là tổ chức đồ (histogram).

Chú ý: Trong biểu đồ trên, nếu chiều cao mỗi cột biểu diễn tần số của nhóm số liệu thì ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng cột.

49

Ví dụ 3

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê sau về thời gian đi từ nhà tới trường của một số bạn trong lớp 9D.

Thời gian (phút)$[5; 10)$$[10; 15)$$[15; 20)$$[20; 25)$
Tần số tương đối$20\%$$37,5\%$$30\%$$12,5\%$

Giải

Bước 1. Vẽ các trục của biểu đồ, xác định đơn vị độ dài trên trục đứng, các nhóm trên trục ngang (H.7.18).

Bước 2. Dựng các hình cột kề nhau ứng với các nhóm số liệu (H.7.18).

Hình: Biểu đồ cột tần số tương đối ghép nhóm với bốn cột kề nhau, trục tung chia từ 0 đến 40 (bước 10), trục hoành ghi các mốc 5, 10, 15, 20, 25 (Hình 7.18).

Bước 3. Ghi chú giải cho các trục, các cột và tiêu đề của biểu đồ (H.7.19).

Hình: Biểu đồ cột hoàn chỉnh có tiêu đề «Thời gian đến trường của các bạn trong lớp», trục tung «Tần số tương đối (%)», trục hoành «Thời gian (phút)», trên mỗi cột ghi 2020, 37,537,5, 3030, 12,512,5 (Hình 7.19).

Luyện tập 3

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng sau về chiều cao của một số cây chà là giống 3 tháng tuổi.

Chiều cao (cm)$[30; 34)$$[34; 38)$$[38; 42)$$[42; 46)$
Tần số tương đối$20\%$$35\%$$30\%$$15\%$

50

3 BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI GHÉP NHÓM DẠNG ĐOẠN THẲNG

Để biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm ta cũng có thể dùng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.

Cách vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng

Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

  1. Bước 1. Chọn giá trị xi=ai+ai+12x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2} đại diện cho nhóm số liệu [ai;ai+1)[a_i; a_{i+1}) với i=1,2,…,ki = 1, 2, \dots, k.
  2. Bước 2. Vẽ trục ngang để biểu diễn các giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, vẽ trục đứng thể hiện tần số tương đối.
  3. Bước 3. Với mỗi giá trị đại diện xix_i trên trục ngang và tần số tương đối fif_i tương ứng, ta xác định một điểm Mi(xi;fi)M_i(x_i; f_i). Nối các điểm liên tiếp với nhau.
  4. Bước 4. Ghi chú giải cho các trục, các điểm và tiêu đề của biểu đồ.

Chú ý. Trong cách vẽ biểu đồ trên, nếu thay tần số tương đối bằng tần số thì ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dạng đoạn thẳng.

Ví dụ 4

Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm sau về tuổi thọ của một loại bóng đèn.

Tuổi thọ (năm)[1; 1,5)[1,5; 2)[2; 2,5)[2,5; 3)[3; 3,5)
Tần số tương đối15%20%30%25%10%

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.

Giải

Bước 1. Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Tuổi thọ (năm)1,251,752,252,753,25
Tần số tương đối15%20%30%25%10%

Bước 2. Vẽ các trục (H.7.20).

Bước 3. Xác định các điểm, nối các điểm liên tiếp với nhau (H.7.20).

Hình: Biểu đồ đoạn thẳng (H.7.20) thể hiện tần số tương đối (%) theo tuổi thọ (năm), với các điểm (1,25;15)(1{,}25; 15), (1,75;20)(1{,}75; 20), (2,25;30)(2{,}25; 30), (2,75;25)(2{,}75; 25), (3,25;10)(3{,}25; 10) nối với nhau bằng đường gấp khúc màu đỏ.

51

Bước 4. Ghi chú giải cho các trục, các điểm và tiêu đề của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm (H.7.21).

Hình: Biểu đồ đoạn thẳng tần số tương đối ghép nhóm “Tuổi thọ bóng đèn”, trục tung “Tần số tương đối (%)” (0 đến 30, bước 5), trục hoành “Tuổi thọ (năm)” tại các giá trị đại diện 1,25; 1,75; 2,25; 2,75; 3,25, các điểm (1,25; 15), (1,75; 20), (2,25; 30), (2,75; 25), (3,25; 10) nối bằng đoạn thẳng, ký hiệu Hình 7.21.

Chú ý. Trên trục ngang ta cũng có thể điền các nhóm số liệu thay cho các giá trị đại diện.

Luyện tập 4

Cho bảng tần số ghép nhóm sau về thời gian gọi (phút) của một số cuộc điện thoại.

Thời gian (phút)[0,5; 2,5)[2,5; 4,5)[4,5; 6,5)[6,5; 8,5)[8,5; 10,5)
Số cuộc gọi61420128

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê trên.

EM CÓ BIẾT? (Đọc thêm)

Khi vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm dạng hình chữ nhật (histogram) mà các nhóm có độ rộng không bằng nhau, ta chia trục hoành thành các khoảng [ai;ai+1)[a_i; a_{i+1}), i=1,2,…,ki = 1, 2, \ldots, k, có độ dài li=ai+1−ail_i = a_{i+1} - a_i. Khi đó, với mỗi nhóm, ta vẽ cột có độ rộng lil_i và chiều cao yi=filiy_i = \dfrac{f_i}{l_i} (với fif_i là tần số tương đối của nhóm thứ ii) sao cho diện tích mỗi cột bằng tần số tương đối của nhóm tương ứng.

BÀI TẬP

7.17 Một cuộc điều tra về thời gian dùng mạng Internet trong ngày của học sinh lớp 9 tại một thành phố cho kết quả như sau:

Thời gian (giờ)[0; 0,5)[0,5; 1,0)[1,0; 1,5)[1,5; 2,0)[2,0; 2,5)
Tỉ lệ15%27%23%18%17%

a) Đọc và giải thích bảng thống kê trên.

b) Để thu được bảng thống kê trên, người ta đã lập phiếu điều tra và thu về tổng cộng 2 000 phiếu trả lời. Lập bảng tần số ghép nhóm cho kết quả thu được.

52

7.18

7.18. Ghi lại cấp độ động đất của các trận động đất xảy ra tại một vùng trong 10 năm người ta thu được kết quả sau:

I, V, II, III, VI, V, IV, II, III, V, VI, VII, VIII, I, I, II, VI, VII, IV.

Biết rằng theo thang Richter thì trận động đất cấp I có độ lớn từ 1 đến dưới 3; cấp II và III có độ lớn từ 3 đến dưới 4; cấp IV và V có độ lớn từ 4 đến dưới 5; cấp VI và VII có độ lớn từ 5 đến dưới 6; cấp VIII có độ lớn từ 6 đến dưới 6,9.

Lập bảng tần số ghép nhóm cho độ lớn các trận động đất xảy ra ở vùng này theo thang Richter.

7.19

7.19. Giáo viên ghi lại thời gian chạy cự li 100 mét của các học sinh lớp 9A cho kết quả như sau:

Thời gian (giây)$[13; 15)$$[15; 17)$$[17; 19)$$[19; 21)$
Số học sinh520132

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.

b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

7.20

7.20. Người ta trồng cà rốt và thử nghiệm một loại phân bón mới. Khi thu hoạch người ta đo chiều dài các củ cà rốt thu được kết quả sau:

Chiều dài (cm)$[15; 16)$$[16; 17)$$[17; 18)$$[18; 19)$$[19; 20)$$[20; 21)$
Số củ cà rót8173028125

Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột cho bảng thống kê trên.

7.21

7.21. Thời gian chờ mua vé xem bóng đá của một số cổ động viên được cho như sau:

Thời gian (phút)$[0; 5)$$[5; 10)$$[10; 15)$$[15; 20)$$[20; 25)$$[25; 30)$
Số cổ động viên153850272010

a) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng cho bảng thống kê thu được ở câu a.

53

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

A. TRẮC NGHIỆM

Sử dụng dữ liệu sau để trả lời các bài tập từ 7.22 đến 7.24.

Gieo một con xúc xắc 50 lần cho kết quả như sau:

Số chấm xuất hiện123456
Tần số87?8611

7.22. Tần số xuất hiện của mặt 3 chấm là

A. 9.

B. 10.

C. 11.

D. 12.

7.23. Tần số tương đối xuất hiện của mặt 5 chấm là

A. 6%.

B. 8%.

C. 12%.

D. 14%.

7.24. Để biểu diễn bảng thống kê trên, không thể dùng loại biểu đồ nào sau đây?

A. Biểu đồ tranh.

B. Biểu đồ tần số dạng cột.

C. Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng.

D. Biểu đồ cột kép.

7.25. Bảng tần số tương đối thời gian đến trường của học sinh lớp 9A như sau:

Thời gian đến trường (phút)$[0; 10)$$[10; 20)$$[20; 30)$
Tần số tương đối20%55%25%

Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng, ta dùng giá trị nào đại diện cho nhóm số liệu [10;20)[10; 20)?

A. 10.

B. 15.

C. 20.

D. 30.

B. TỰ LUẬN

7.26. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm Hình 7.22 cho biết tỉ lệ chiều cao của các cây keo giống do một kĩ sư lâm nghiệp đã trồng trong nhà kính.

Hình: Biểu đồ cột tần số tương đối ghép nhóm có tiêu đề «Tỉ lệ chiều cao các cây keo giống trồng trong nhà kính», trục tung ghi Tỉ lệ (%) từ 0% đến 45%, trục hoành ghi Chiều cao (cm) với các mốc 0, 10, 20, 30, 40; các cột tương ứng các khoảng chiều cao [0;10)[0; 10), [10;20)[10; 20), [20;30)[20; 30), [30;40][30; 40] với tỉ lệ lần lượt 10%, 20%, 40%, 30%. (Hình 7.22)

Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ.

54

← Bài 23 BẢNG TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐI VÀ BIỂU ĐỒ TẦN SỐ TƯƠNG ĐỐIBài 7.27 →