Bài 27 GÓC NỘI TIẾP

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Góc nội tiếp Cung bị chắn	Nhận biết góc nội tiếp của một đường tròn. Nhận biết cung bị chắn bởi góc nội tiếp của một đường tròn. Giải thích mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp với số đo góc ở tâm chắn cùng một cung.

Chúng ta đã biết số đo góc ở tâm $BOC$ của đường tròn $(O)$ trong Hình 9.1 bằng số đo của cung bị chắn $\overset{\frown}{BC}$. Vậy số đo của góc này có mối quan hệ gì với số đo của góc $BAC$?

Hình: Một hình tròn tâm $O$ có tam giác $ABC$ nội tiếp, trong đó thể hiện góc ở tâm $BOC$ và góc nội tiếp $BAC$.

Hình 9.1

67

Góc nội tiếp và cung bị chắn

HĐ Vẽ đường tròn tâm $O$ có bán kính bằng $2\text{ cm}$ và dây cung $AB$ có độ dài bằng $2\text{ cm}$. Lấy một điểm $C$ tuỳ ý nằm trên cung lớn $AmB$ (H.9.2).

a) Cho biết số đo của góc ở tâm $AOB$ và số đo của cung bị chắn $AB$.

b) Đo góc $ACB$ và so sánh với kết quả của bạn bên cạnh.

c) Lấy điểm $D$ tuỳ ý nằm trên cung $ACB$. Đo góc $ADB$ và so sánh với các góc $ACB$ và $AOB$.

Hình: Một đường tròn tâm $O$ có các điểm $A$, $B$, $C$, $D$ nằm trên đường tròn, minh họa các góc $AOB$, $ACB$, $ADB$ và cung $m$.

$\Delta AOB$ là tam giác đều.

Các góc $ACB$ và $ADB$ ở Hình 9.2 được gọi là các góc nội tiếp của đường tròn $(O)$ và $\overset{\frown}{AB}$ là cung bị chắn.

Tổng quát, chúng ta có định nghĩa về góc nội tiếp như sau:

Định nghĩa

Góc nội tiếp của đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 1

Trong các góc $A$, $B$, $C$, $D$ ở Hình 9.3, góc nào là góc nội tiếp, góc nào không phải góc nội tiếp của đường tròn vẽ trong hình? Vì sao?

Hình: Bốn đường tròn khác nhau minh họa các góc $A$, $B$, $C$, $D$ với các vị trí đỉnh và cạnh khác nhau so với đường tròn.

Giải

Các góc $A$ và $C$ không phải góc nội tiếp của đường tròn vì đỉnh không nằm trên đường tròn. Góc $D$ có một cạnh không chứa dây cung của đường tròn nên cũng không là góc nội tiếp của đường tròn. Góc $B$ có đỉnh $B$ nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn nên là góc nội tiếp của đường tròn.

68

Định lí sau cho biết mối liên hệ giữa góc nội tiếp với cung bị chắn:

Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

GT	$A, B, C \in (O).$
KL	$\widehat{ACB} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AB}$ (cung AB không chứa C).

Chứng minh

Ta xét ba trường hợp sau (H.9.4).

Hình: Hình 9.4 minh họa ba trường hợp vị trí của tâm O so với góc nội tiếp ACB trong đường tròn: Trường hợp 1 (tâm O nằm trên cạnh CB), Trường hợp 2 (tâm O nằm trong góc) và Trường hợp 3 (tâm O nằm ngoài góc).

Trường hợp 1: Tâm O nằm trên một cạnh của góc ACB. Giả sử $O \in CB$. Do tam giác OAC cân tại O và có tổng các góc bằng $180^\circ$ nên: $2\widehat{ACB} = \widehat{ACO} + \widehat{CAO} = 180^\circ - \widehat{AOC} = \widehat{AOB}.$ Do $\widehat{AOB} = \text{sđ} \overparen{AB}$ (vì $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB) nên $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AB}$.

Trường hợp 2: Tâm O nằm bên trong góc ACB. Vẽ đường kính CD. Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và DCB với cạnh CD đi qua O, ta được: $\widehat{ACD} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AD} \text{ và } \widehat{DCB} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{DB}.$ Suy ra $\widehat{ACB} = \widehat{ACD} + \widehat{DCB} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AD} + \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{DB} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AB}$.

Trường hợp 3: Tâm O nằm ngoài góc ACB. Vẽ đường kính CD. Áp dụng Trường hợp 1 cho các góc nội tiếp ACD và BCD với cạnh CD đi qua O, tương tự như trên ta được: $\widehat{ACB} = \widehat{ACD} - \widehat{BCD} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AD} - \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{BD} = \frac{1}{2} \text{sđ} \overparen{AB}.$

Nhận xét

Từ định lí trên ta có các khẳng định sau đối với các góc nội tiếp của một đường tròn hoặc của hai đường tròn bằng nhau:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
• Các góc nội tiếp chắn cung nhỏ thì có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

69

Hãy cho biết số đo của góc nội tiếp tìm được trong Hình 9.3 ở Ví dụ 1, biết rằng số đo của các cung màu xanh trong hình đều bằng $120°$.

Ví dụ 2

Cho đường tròn $(O)$ và các điểm $A, B, C, D$ trên $(O)$ như Hình 9.5. Biết rằng $\widehat{BAC} = 60°$, hãy tính số đo của các góc $\widehat{BOC}$ và $\widehat{BDC}$.

Giải (H.9.5). Xét đường tròn $(O)$, ta có:

• Do hai góc nội tiếp $\widehat{BDC}$ và $\widehat{BAC}$ cùng chắn cung nhỏ $BC$ nên $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 60°$ ;
• Vì góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ và góc ở tâm $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung nhỏ $BC$ nên $\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = 120°$.

Hình: Hình 9.5 — đường tròn tâm $O$, các điểm $A, B, C, D$ trên đường tròn; tam giác $ABC$, tam giác $DBC$; góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ bằng $60°$; góc ở tâm $\widehat{BOC}$; đoạn nét đứt $DO$.

Luyện tập

Cho đường tròn tâm $O$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $X$ nằm trong đường tròn (H.9.6). Chứng minh rằng $\Delta AXC \sim \Delta DXB$.

Hình: Hình 9.6 — đường tròn tâm $O$, hai dây $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $X$ trong đường tròn; các đoạn $AC$, $DB$ tạo tam giác $\Delta AXC$ và $\Delta DXB$.

Vận dụng

Trở lại tình huống mở đầu, hãy tính số đo của góc $\widehat{BAC}$ nếu biết đường tròn có bán kính $2\ \text{cm}$ và dây cung $BC = 2\sqrt{2}\ \text{cm}$.

Hình: Bong bóng thoại — « Tam giác $BOC$ có phải tam giác vuông không? »

BÀI TẬP

9.1 Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn cùng một cung.

b) Góc nội tiếp nhỏ hơn $90°$ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một cung.

d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.

70

9.2. Cho các điểm như Hình 9.7. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết rằng $\widehat{AOB} = 120^\circ$, $\widehat{BOC} = 80^\circ$.

Hình: Đường tròn tâm $O$, ba điểm $A$, $B$, $C$ trên đường tròn; các tia $OA$, $OB$, $OC$; $\widehat{AOB} = 120^\circ$, $\widehat{BOC} = 80^\circ$; tam giác $ABC$ nối ba điểm trên đường tròn.

9.3. Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AC$, $BD$ cắt nhau tại $X$ (H.9.8). Tính số đo góc $AXB$ biết rằng $\widehat{ADB} = 30^\circ$ và $\widehat{DBC} = 50^\circ$.

Hình: Đường tròn $(O)$, hai dây $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$; góc nội tiếp $\widehat{ADB} = 30^\circ$, $\widehat{DBC} = 50^\circ$.

9.4. Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB$, $CD$ cắt nhau tại điểm $I$ nằm trong $(O)$ (H.9.9).

a) Biết rằng $\widehat{AOC} = 60^\circ$, $\widehat{BOD} = 80^\circ$. Tính số đo của góc $AID$.

b) Chứng minh rằng $IA \cdot IB = IC \cdot ID$.

Hình: Đường tròn $(O)$, hai dây $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $I$ bên trong đường tròn; $\widehat{AOC} = 60^\circ$, $\widehat{BOD} = 80^\circ$.

9.5. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $AB$ và điểm $S$ nằm ngoài $(O)$. Cho hai đường thẳng $SA$, $SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại $M$ (khác $A$) và $N$ (khác $B$). Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $AN$ (H.9.10). Chứng minh rằng $SP$ vuông góc với $AB$.

Hình: Đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$; điểm $S$ ở ngoài đường tròn; $SA$ cắt $(O)$ tại $M$, $SB$ cắt $(O)$ tại $N$; $BM$ và $AN$ cắt nhau tại $P$.

9.6. Trên sân bóng, khi quả bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng $36^\circ$ và quả bóng cách mỗi cọc gôn $11{,}6\ \text{m}$ (H.9.11). Hỏi khi quả bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11{,}6\ \text{m}$ thì góc sút bằng bao nhiêu?

Hình: Khung thành và vùng cấm điểm phạt đền; quả bóng tại điểm phạt đền, hai tia tới hai cọc gôn, góc sút $36^\circ$, khoảng cách tới mỗi cọc gôn $11{,}6\ \text{m}$; một quả bóng ở vị trí lùi xa hơn so với điểm phạt đền.

71