Bài 28 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP CỦA MỘT TAM GIÁC

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác	Nhận biết định nghĩa đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp tam giác. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, tam giác đều. Xác định tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông, tam giác đều. Vận dụng các kiến thức đã học để giải một số bài tập liên quan.

Cho trước một tam giác $ABC$. Bằng thước kẻ và compa, em có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác hay không?

1 ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

HĐ1 Cho $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và $O$ là một điểm trên $d$ (H.9.12). Hỏi đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì có đi qua $B$ không?

Hình: H.9.12 — Đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$, điểm $O$ trên $d$, các đoạn $OA$, $OB$ (nét đứt).

HĐ2 Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung trực đồng quy tại $O$ (H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn $(O; OA)$ đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$.

Hình: H.9.13 — Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$; ba đường trung trực các cạnh giao nhau tại $O$.

Đường tròn $(O; OA)$ như trên gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Trong Hình 9.13, đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Ta cũng nói tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, hay $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tâm $O$ là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác $ABC$.

72

Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn $(O)$ trong Hình 9.14.

Hình: Hình vẽ một đường tròn tâm $O$ với các điểm $A, B, C, M, N$ nằm trên đường tròn và các đoạn thẳng nối giữa chúng tạo thành các hình tam giác.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

HĐ3 Cho tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$. Gọi $N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AC$ (H.9.15).

a) Vẽ hai đường trung trực $a, b$ của các cạnh $AB, AC$, cắt nhau tại $M$.

b) Hãy giải thích vì sao $MN, MP$ là các đường trung bình của tam giác $ABC$.

c) Hãy giải thích vì sao $M$ là trung điểm của $BC$, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ có tâm $M$ và bán kính $MB = MC = \frac{BC}{2}$.

Hình: Hình vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp đường tròn, có hai đường trung trực $a, b$ của các cạnh $AB, AC$ cắt nhau tại điểm $M$ nằm trên cạnh $BC$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ 1 Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 2$ cm, $AC = 4$ cm. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tính bán kính $R$.

Giải (H.9.16).

Lấy $O$ là trung điểm của $BC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$. Khi đó, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Theo định lí Pythagore, ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 4 + 16 = 20$

nên $BC = 2\sqrt{5}$ (cm).

Vậy đường tròn $(O)$ có bán kính $R = \frac{BC}{2} = \sqrt{5}$ cm.

Hình: Hình vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, với $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.

Luyện tập 1 Cho tam giác $ABC$ có $AC = 3$ cm, $AB = 4$ cm và $BC = 5$ cm. Tính bản kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

HĐ4 a) Vẽ tam giác đều $ABC$. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn đó.

Hình: Hình vẽ tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, có đường cao $AM$ đi qua tâm $O$.

73

b) Giải thích vì sao tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).

c) Giải thích vì sao $\widehat{OBM} = 30°$ và $OB = \dfrac{\sqrt{3}}{3} BC$ (với $M$ là trung điểm của $BC$) (H.9.17).

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $3$ cm. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính $R$.

Giải (H.9.18). Lấy $O$ là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$. Đường tròn $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} BC = \sqrt{3}$ cm.

Hình: Tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$; ba đường trung tuyến cắt nhau tại $O$; $A$ ở đỉnh trên, $B$ dưới trái, $C$ dưới phải (H.9.18).

Luyện tập 2. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $4$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

2 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Đường tròn nội tiếp tam giác

HĐ5. Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác đồng quy tại điểm $I$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $I$ xuống các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ (H.9.19).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $D$, $E$, $F$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $I$.

b) Gọi $(I)$ là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao $(I)$ tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$.

Hình: Tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp $(I)$; $I$ là giao điểm ba đường phân giác; đường tròn tiếp xúc $BC$, $CA$, $AB$ tại $D$, $E$, $F$; ký hiệu vuông góc tại $D$, $E$, $F$ (H.9.19).

Đường tròn $(I)$ như trên được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt là $D$, $E$, $F$. Ta cũng nói tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ (H.9.19).

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó.

74

b) Giải thích vì sao tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).

c) Giải thích vì sao $\widehat{OBM} = 30^\circ$ và $OB = \dfrac{\sqrt{3}}{3} BC$ (với $M$ là trung điểm của $BC$) (H.9.17).

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $3$ cm. Vẽ đường tròn $(O; R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính $R$.

Giải (H.9.18). Lấy $O$ là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác $ABC$ và vẽ đường tròn $(O)$ đi qua $A$. Đường tròn $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{3}}{3} BC = \sqrt{3}$ cm.

Hình: Tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, ba đường trung tuyến đồng quy tại $O$ (H.9.18).

Luyện tập 2. Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $4$ cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

2 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Đường tròn nội tiếp tam giác

HĐ5. Cho tam giác $ABC$ có ba đường phân giác đồng quy tại điểm $I$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $I$ xuống các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ (H.9.19).

a) Hãy giải thích vì sao các điểm $D$, $E$, $F$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm $I$.

b) Gọi $(I)$ là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao $(I)$ tiếp xúc với các cạnh của tam giác $ABC$.

Hình: Tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$, tiếp điểm $D$, $E$, $F$ trên $BC$, $CA$, $AB$ (H.9.19).

Đường tròn $(I)$ như trên được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt là $D$, $E$, $F$. Ta cũng nói tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ (H.9.19).

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó.

74

Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?

Đường tròn nội tiếp tam giác đều

HĐ6 Cho tam giác đều $ABC$ có trọng tâm $G$.

a) Giải thích vì sao $G$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{6} BC$.

Ghi nhớ: Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\dfrac{\sqrt{3}}{6} a$.

Ví dụ 3

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Biết rằng $\widehat{A} = 40^\circ$, $\widehat{B} = 60^\circ$. Tính số đo của các góc $\widehat{BIC}$, $\widehat{CIA}$ và $\widehat{AIB}$.

Hình: Tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$; các đoạn $IA$, $IB$, $IC$ nối tâm $I$ với các đỉnh; chú thích Hình 9.20.

Giải

Vì tổng ba góc của tam giác $ABC$ bằng $180^\circ$ nên $\widehat{ACB} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 80^\circ$.

Vì tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ nên $I$ là giao điểm các đường phân giác của tam giác $ABC$. Do đó, ta có:

$\widehat{CAI} = \widehat{BAI} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = 20^\circ$; $\widehat{CBI} = \widehat{ABI} = \dfrac{\widehat{ABC}}{2} = 30^\circ$; $\widehat{ACI} = \widehat{BCI} = \dfrac{\widehat{ACB}}{2} = 40^\circ$.

Vì tổng các góc trong tam giác $BIC$ bằng $180^\circ$ nên $\widehat{BIC} = 180^\circ - \widehat{CBI} - \widehat{BCI} = 180^\circ - 30^\circ - 40^\circ = 110^\circ$.

Tương tự, $\widehat{CIA} = 180^\circ - \widehat{ACI} - \widehat{CAI} = 120^\circ$ và $\widehat{AIB} = 180^\circ - \widehat{ABI} - \widehat{BAI} = 130^\circ$.

Thực hành

Vẽ đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ bằng thước kẻ và compa theo các bước sau:

– Vẽ tia phân giác góc $B$ như sau: Dùng compa vẽ một cung tròn tâm $B$ cắt hai cạnh $BC$, $BA$ lần lượt tại $X$ và $Y$. Vẽ hai cung tròn tâm $X$, $Y$ có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm $Z$ khác $B$. Kẻ tia $BZ$ ta được tia phân giác góc $B$.

– Tương tự, vẽ tia phân giác góc $C$, cắt tia $BZ$ tại $I$.

75

– Vẽ đường cao $ID$ từ $I$ xuống $BC$ ($D$ thuộc $BC$). Vẽ đường tròn $(I; ID)$ (H.9.21).

Hình: Tam giác $ABC$ với hai tia phân giác góc (nét đứt) từ $B$ và $C$ cắt nhau tại $I$; từ $I$ kẻ đường vuông góc $ID$ xuống $BC$; vẽ đường tròn tâm $I$ bán kính $ID$ tiếp xúc ba cạnh; có các điểm $X$, $Y$, $Z$ và các cung dựng hình. (H.9.21)

Khi đó đường tròn $(I; ID)$ là đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cần vẽ.

Luyện tập 3

Cho tam giác đều $ABC$ (H.9.22).

a) Vẽ đường tròn $(I; r)$ nội tiếp tam giác $ABC$.

b) Biết rằng $BC = 4 \text{ cm}$, hãy tính bán kính $r$.

Hình: Tam giác đều $ABC$ có đường tròn nội tiếp tâm $I$; cạnh $BC$ có kích thước ghi $4 \text{ cm}$; đường cao từ $A$ đi qua $I$ xuống trung điểm $BC$. (H.9.22)

BÀI TẬP

9.7 Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$. Tính bán kính của $(O)$, biết rằng $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và có độ dài cạnh bên bằng $2\sqrt{2} \text{ cm}$.

9.8 Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng đường tròn $(O)$ có bán kính bằng $3 \text{ cm}$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

9.9 Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$.

9.10 Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các tiếp điểm trên các cạnh $AB, AC$ lần lượt là $E, F$. Chứng minh rằng $\widehat{EIF} + \widehat{BAC} = 180^\circ$.

9.11 Cho tam giác đều $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ biết rằng bán kính của $(I)$ bằng $1 \text{ cm}$.

9.12 Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính $30 \text{ cm}$ (H.9.23). Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Hình: Mặt đồng hồ tròn có số từ 1 đến 12 và kim, nằm khít trong khung gỗ dày hình tam giác đều. (H.9.23)

76

EM CÓ BIẾT ? (Đọc thêm)

ĐƯỜNG TRÒN BÀNG TIẾP TAM GIÁC

Trong khi đường tròn nội tiếp nằm trong tam giác và tiếp xúc với ba cạnh, mỗi tam giác còn có ba đường tròn khác tiếp xúc với các đường thẳng chứa các cạnh nhưng nằm ngoài tam giác. Những đường tròn đó gọi là đường tròn bàng tiếp.

Cụ thể, ta có định nghĩa sau: Đường tròn bàng tiếp của tam giác $ABC$ trong góc $A$ là đường tròn tiếp xúc với cạnh $BC$ và tiếp xúc với các tia đối của tia $BA$ và tia $CA$.

Tương tự, ta có đường tròn bàng tiếp trong góc $B$ và góc $C$ của tam giác $ABC$.

Vẽ đường tròn bàng tiếp. Ta vẽ đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác $ABC$ như sau:

– Vẽ hai đường phân giác ngoài góc $B$ và $C$ của tam giác $ABC$. Gọi $I_a$ là giao điểm của hai đường phân giác ngoài này. Khi đó, $I_a$ nằm ngoài tam giác $ABC$ và cách đều các đường thẳng $AB$, $BC$, $CA$.

– Kẻ đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $AC$ và cắt $AC$ tại điểm $E$. Vẽ đường tròn $(I_a; I_aE)$. Khi đó, đường tròn $(I_a; I_aE)$ sẽ tiếp xúc với cạnh $BC$ và tiếp xúc với các tia đối của tia $BA$, $CA$. Vậy $(I_a; I_aE)$ là đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác $ABC$ như hình bên.

Hình: Tam giác $ABC$, hai đường phân giác ngoài góc $B$ và $C$ cắt nhau tại $I_a$; đường tròn $(I_a; I_aE)$ tiếp xúc $BC$ và các tia đối của $BA$, $CA$; $E$ là chân đường vuông góc từ $I_a$ xuống $AC$.

77

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng $\widehat{OAB} = 30^\circ$, $\widehat{OAC} = 40^\circ$. Hãy tính số đo của các góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$.

Giải (H.9.24). Vì $OA = OB$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$. Suy ra $\widehat{OBA} = \widehat{OAB} = 30^\circ$.

Do tổng các góc trong tam giác $OAB$ bằng $180^\circ$ nên $\widehat{AOB} = 180^\circ - \widehat{OAB} - \widehat{OBA} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Tương tự, tam giác $OAC$ cân tại $O$ vì $OA = OC$. Do đó $\widehat{OCA} = \widehat{OAC} = 40^\circ$.

Vì tổng các góc trong tam giác $OAC$ bằng $180^\circ$ nên $\widehat{AOC} = 180^\circ - \widehat{OAC} - \widehat{OCA} = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$.

Xét đường tròn $(O)$ ta có:

• Vì góc nội tiếp $\widehat{ABC}$ và góc ở tâm $\widehat{AOC}$ cùng chắn cung nhỏ $AC$ nên $\widehat{ABC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOC} = 50^\circ$;
• Vì góc nội tiếp $\widehat{ACB}$ và góc ở tâm $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung nhỏ $AB$ nên $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = 60^\circ$.

Hình: Đường tròn tâm $O$, tam giác $ABC$ nội tiếp; các đoạn $OA$, $OB$, $OC$ nối tâm tới các đỉnh; góc $\widehat{OAB}$ ghi $30^\circ$, góc $\widehat{OAC}$ ghi $40^\circ$ (H.9.24).

Ví dụ 2

Cho tam giác $ABC$ có diện tích $S$ và ngoại tiếp đường tròn $(I; r)$. Chứng minh rằng $S = \dfrac{1}{2}r(BC + CA + AB)$.

Giải (H.9.25). Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I; r)$ với $BC$, $CA$ và $AB$.

Ta có:

$S = S_{BIC} + S_{CIA} + S_{AIB}$

$= \dfrac{1}{2} ID \cdot BC + \dfrac{1}{2} IE \cdot CA + \dfrac{1}{2} IF \cdot AB$

$= \dfrac{1}{2} r (BC + CA + AB).$

Hình: Tam giác $ABC$ với đường tròn nội tiếp tâm $I$; tiếp điểm trên $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt là $D$, $E$, $F$; $ID$, $IE$, $IF$ vuông góc các cạnh tại tiếp điểm; $IA$, $IB$, $IC$ chia tam giác thành ba tam giác nhỏ (H.9.25).

78

Lưu ý: Trong ảnh, Ví dụ 2 ghi « ngoại tiếp đường tròn $(I; r)$ » trong khi lời giải và H.9.25 là đường tròn nội tiếp (tiếp điểm trên các cạnh). Markdown trên chép đúng chữ in trên trang; nếu bạn muốn sửa theo nội dung hình thì đổi « ngoại tiếp » thành « nội tiếp » ở đề Ví dụ 2.

BÀI TẬP

9.13. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Biết rằng $\widehat{BOC} = 120^\circ$ và $\widehat{OCA} = 20^\circ$. Tính số đo các góc của tam giác $ABC$.

9.14. Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $4$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

9.15. Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $3$ cm và nội tiếp đường tròn $(O)$ như Hình 9.26.

a) Tính bán kính $R$ của đường tròn $(O)$.

b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung $BC$ và cung nhỏ $BC$.

Hình: Đường tròn tâm $O$ với tam giác đều $ABC$ nội tiếp bên trong; đỉnh $A$ ở trên, $B$ bên trái, $C$ bên phải; phần giới hạn bởi dây cung $BC$ và cung tròn phía dưới (hình viên phân) được tô màu.

9.16. Trong một khu vui chơi có dạng hình tam giác đều với độ dài cạnh bằng $60$ m, người ta muốn tìm một vị trí đặt bộ phát sóng wifi sao cho ở chỗ nào trong khu vui chơi đó đều có thể bắt được sóng. Biết rằng bộ phát sóng đó có tầm phát sóng tối đa là $50$ m, hỏi có thể tìm được vị trí để đặt bộ phát sóng như vậy hay không?

9.17. Người ta vẽ bản quy hoạch của một khu dân cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là $900$ m, $1\,200$ m và $1\,500$ m (H.9.27).

a) Tính chu vi và diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác trên.

b) Họ muốn xây dựng một khách sạn bên trong khu dân cư cách đều cả ba con đường đó. Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là bao nhiêu?

Hình: Tam giác vuông với cạnh đứng bên trái ghi $900$ m, cạnh nằm ngang bên dưới ghi $1\,200$ m, cạnh huyền ghi $1\,500$ m; bên trong có một điểm (vị trí khách sạn) và ba đường nét đứt vuông góc với ba cạnh tại các điểm tiếp xúc.

79