Bài 31 HÌNH TRỤ VÀ HÌNH NÓN

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
- Hình trụ - Hình nón - Đường sinh	- Mô tả đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình trụ; đỉnh, đường sinh, chiều cao, bán kính đáy của hình nón. - Tạo lập hình trụ và hình nón. - Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ, hình nón. - Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với việc tính thể tích, diện tích xung quanh của hình trụ, hình nón.

Đèn lồng, nón lá ở Hình 10.1 là những vật dụng quen thuộc có dạng hình trụ, hình nón. Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số yếu tố cơ bản về hình trụ, hình nón và những vấn đề thực tiễn gắn với việc tính diện tích, thể tích của chúng.

Hình: Những chiếc đèn lồng hình trụ đang phát sáng và một chiếc nón lá trang trí hoa văn đỏ.

93

1. HÌNH TRỤ

Nhận biết hình trụ

1. Hộp sữa (H.10.2a) có dạng một hình trụ.

Một số yếu tố của hình trụ được chỉ ra trên Hình 10.2b.

2. Khi quay hình chữ nhật $O'ABO$ một vòng quanh $OO'$ cố định thì ta được một hình trụ (H.10.3), trong đó:

— Hai đáy của hình trụ là hai hình tròn bằng nhau $(O'; O'A)$ và $(O; OB)$.

— Mỗi đường sinh là một vị trí của $AB$ khi quay. Vậy hình trụ có vô số đường sinh. $R = O'A = OB$ gọi là bán kính đáy của hình trụ.

— Độ dài của đoạn $OO'$ gọi là chiều cao của hình trụ. Các đường sinh bằng nhau và bằng $OO'$.

Hình: H.10.2 gồm phần a) ảnh hộp sữa đặc và phần b) sơ đồ hình trụ với các nhãn Đáy, Đường sinh, Bán kính đáy; các điểm $O'$, $A$, $D$ trên đáy trên và $O$, $B$, $C$ trên đáy dưới.

Hình: H.10.3 minh họa tạo hình trụ bằng cách quay hình chữ nhật $O'ABO$ quanh trục $O'O$.

Nêu một số đồ vật có dạng hình trụ trong đời sống.

Một số yếu tố của hình trụ:

Chiều cao: $h = O'O$.

Bán kính đáy: $R = OB$.

Đường sinh: $l = AB$.

Hình: Sơ đồ hình trụ trong khung tóm tắt với $O'$, $A$ trên đáy trên, $O$, $B$ trên đáy dưới; $h$ trên $O'O$, $R$ trên $OB$, $l$ trên $AB$.

Ví dụ 1. Hãy kể tên một bán kính đáy và một đường sinh của hình trụ trong Hình 10.4. Cho biết chiều cao của hình trụ này.

Giải

$O'M$ là một bán kính đáy của hình trụ.

$EF$ là một đường sinh của hình trụ.

Chiều cao $O'O = 10 \text{ cm}$.

Hình: H.10.4 — hình trụ với tâm đáy trên $O'$, các điểm $E$, $M$; đáy dưới tâm $O$, các điểm $F$, $N$; đoạn $O'O$ dọc nét đứt ghi $10 \text{ cm}$; $EF$ là đoạn thẳng đứng trên mặt bên.

Luyện tập 1. Kể tên các bán kính đáy và đường sinh còn lại của hình trụ có trong Hình 10.4.

94

Chú ý. Từ một hình trụ, ta có thể cắt theo một đường sinh và khai triển hình trụ ra mặt phẳng. Khi đó ta được hình khai triển của hình trụ gồm một hình chữ nhật và hai hình tròn (H. 10.5).

Hình: Khai triển hình trụ thành một hình chữ nhật và hai hình tròn, có các điểm $A$, $B$ trên mép hình trụ và trên hình chữ nhật tương ứng (Hình 10.5).

Thực hành 1

Chuẩn bị một băng giấy hình chữ nhật $ABCD$ với kích thước $AB = 8$ cm, $BC = 15$ cm. Cuộn băng giấy lại để được một hình trụ không đáy (H. 10.6). Tính chiều cao và chu vi đáy của hình trụ vừa tạo được.

Hình: Ba bước cuộn hình chữ nhật $ABCD$ thành hình trụ; hai cạnh $AB$ và $CD$ trùng nhau tại vết dán (Hình 10.6).

Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

HĐ1

Giả thiết diện tích hình chữ nhật $ABCD$ ở Thực hành 1 chính là diện tích xung quanh của hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có $h = 9$ cm và $R = 5$ cm.

Từ Thực hành 1, ta thấy diện tích xung quanh của hình trụ bằng diện tích hình chữ nhật khi khai triển. Một cạnh của hình chữ nhật bằng chu vi đáy $2\pi R$, cạnh còn lại bằng chiều cao $h$ của hình trụ. Vậy ta có công thức:

$S_{xq} = 2\pi Rh,$

trong đó $R$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

HĐ2

Nhắc lại công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác hoặc tứ giác có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.

95

Tương tự, đối với hình trụ ta cũng có công thức tính thể tích $V$ như sau:

$V = S_{\text{đáy}} \cdot h = \pi R^{2}h,$

trong đó $S_{\text{đáy}}$ là diện tích đáy, $R$ là bán kính đáy, $h$ là chiều cao.

Ví dụ 2

Bác Khôi dự định sơn lại một thùng rác có dạng hình trụ (sơn mặt ngoài và một đáy là nắp) có bán kính đáy bằng 11 cm, chiều cao bằng 30 cm (H.10.7).

a) Tính diện tích phần cần sơn của thùng rác.

b) Tính thể tích của thùng rác (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $cm^{3}$).

Hình: Một thùng rác hình trụ màu xám có ghi chữ “THÙNG RÁC”, bán kính đáy 11 cm và chiều cao 30 cm.

Giải

a) Phần cần sơn bao gồm mặt xung quanh và một đáy của hình trụ.

Theo đề bài, ta có $R = 11$ cm và $h = 30$ cm. Do đó:

$S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot 11 \cdot 30 = 660\pi$ (cm$^{2}$);

$S_{\text{đáy}} = \pi R^2 = \pi \cdot 11^2 = 121\pi$ (cm$^{2}$).

Vậy diện tích cần sơn là $S = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = (660 + 121)\pi = 781\pi$ (cm$^{2}$).

b) Thể tích của thùng rác là $V = S_{\text{đáy}} \cdot h = 121\pi \cdot 30 = 3\,630\pi \approx 11\,404$ (cm$^{3}$).

Luyện tập 2

Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao bằng 1,6 m và bán kính đáy bằng 0,5 m.

a) Tính diện tích xung quanh của thùng nước.

b) Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

(Coi chiều dày của thùng không đáng kể và làm tròn kết quả ở câu b đến hàng đơn vị của lít).

2 HÌNH NÓN

Nhận biết hình nón

1. Đồ chơi, chi tiết cơ khí (H.10.8) có dạng một hình nón. Một số yếu tố của hình nón được thể hiện trên Hình 10.9b.

96

Hình: Mô hình hình nón bằng gỗ và hai con quay gỗ đặt trên đế tròn.

Hình 10.8

2. Khi quay tam giác vuông $SOA$ (vuông ở $O$) một vòng quanh $SO$ cố định thì ta được một hình nón đỉnh $S$ (H.10.9a), trong đó:

• Đáy của hình nón là hình tròn $(O; OA)$, $R = OA$ gọi là bán kính đáy của hình nón.
• Mỗi đường sinh là một vị trí của $SA$ khi quay. Vậy hình nón có vô số đường sinh dài bằng nhau.
• $SO$ gọi là đường cao của hình nón. Độ dài đoạn $SO$ được gọi là chiều cao của hình nón.

Hình: Sơ đồ a) tam giác vuông $SOA$ quay quanh $SO$ tạo hình nón; sơ đồ b) hình nón ghi đỉnh, đường cao $h$, đường sinh, bán kính đáy và đáy.

Hình 10.9

? Nêu một số đồ vật có dạng hình nón trong đời sống.

Một số yếu tố của hình nón:

Hình: Hình nón với đỉnh $S$, đáy có tâm $O$, điểm $A$, $B$ trên đáy; ghi $h$, $l$, $R$.

• Đỉnh: $S$.
• Chiều cao: $h = SO$.
• Đường sinh: $l = SA = SB$.
• Bán kính đáy: $R = OA$.

Ví dụ 3

Hãy kể tên đỉnh, đường cao, một bán kính đáy và một đường sinh của hình nón trong Hình 10.10.

Hình: Hình nón có đỉnh $S$, tâm đáy $O$, các điểm $M$, $N$, $P$ trên đường tròn đáy; $SO$ là đường cao, $OM$ là bán kính đáy, $SM$ là đường sinh.

Hình 10.10

Giải

Đỉnh: $S$.

Đường cao: $SO$.

Một bán kính đáy: $OM$.

Một đường sinh: $SM$.

97

Luyện tập 3 Kể tên các bán kính đáy và các đường sinh còn lại của hình nón trong Hình 10.10.

Chú ý. Cho một hình nón. Nếu ta cắt rời đáy và cắt mặt xung quanh của nó theo đường sinh SA rồi trải phẳng ra thì được một hình phẳng (gồm một hình tròn và một hình quạt tròn) như Hình 10.11 gọi là hình khai triển của hình nón đã cho.

Hình: Sơ đồ khai triển một hình nón thành một hình quạt tròn và một hình tròn đáy.

Thực hành 2 Cắt một nửa hình tròn bằng giấy cứng, có đường kính $AB = 20\ \text{cm}$ và tâm là $S$. Cuộn nửa hình tròn đó lại sao cho $SA$ và $SB$ sát vào nhau (dùng băng keo dán), ta được một hình nón đỉnh $S$ (không có đáy) (H.10.12). Hãy cho biết độ dài đường sinh và chu vi đáy của hình nón đó.

Hình: Các bước cuộn một nửa hình tròn tâm $S$ đường kính $AB$ thành một hình nón đỉnh $S$.

Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

HĐ3 Người ta coi diện tích của hình quạt tròn $SAB$ (xem Thực hành 2) chính là diện tích xung quanh của hình nón được tạo thành. Cho hình nón có đường sinh $l = 9\ \text{cm}$ và bán kính đáy $r = 5\ \text{cm}$. Tính diện tích mặt xung quanh của hình nón.

Một cách tổng quát, ta có công thức tính diện tích mặt xung quanh (gọi tắt là diện tích xung quanh, kí hiệu là $S_{xq}$) của hình nón như sau:

$S_{xq} = \pi rl,$

trong đó $r$ là bán kính đáy, $l$ là độ dài đường sinh.

98

HĐ4

Hãy nhắc lại công thức tính thể tích của hình chóp tam giác đều (hoặc hình chóp tứ giác đều) có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.

Tương tự, ta có công thức tính thể tích của hình nón như sau:

$V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h = \frac{1}{3} \pi r^2 h,$

trong đó $S_{đáy}$ là diện tích đáy,

$r$ là bán kính đáy,

$h$ là chiều cao.

Ví dụ 4

Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng $10 \text{ cm}$, bán kính đáy bằng $6 \text{ cm}$ (H.10.13).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Hình: Sơ đồ một hình nón có đỉnh S, tâm đáy O, bán kính đáy $OB = 6 \text{ cm}$, đường sinh $SB = 10 \text{ cm}$ và đường cao $SO$ là nét đứt.

Hình 10.13

Giải

a) Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq} = \pi rl = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$ $(cm^2)$.

b) Tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$OB^2 + SO^2 = SB^2$

$6^2 + SO^2 = 10^2$

$SO^2 = 100 - 36 = 64$

$SO = 8 \text{ cm}$.

Thể tích của hình nón là $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = 96\pi$ $(cm^3)$.

Luyện tập 4

Tính diện tích xung quanh và thể tích của một hình nón có độ dài đường sinh bằng $13 \text{ cm}$ và chiều cao bằng $12 \text{ cm}$.

Vận dụng

Người ta đổ muối thu hoạch được trên cánh đồng muối thành từng đống có dạng hình nón với chiều cao khoảng $0{,}9 \text{ m}$ và đường kính đáy khoảng $1{,}6 \text{ m}$. Hỏi mỗi đống muối có bao nhiêu decimét khối muối? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $\text{dm}^3$).

Hình: Ảnh chụp các đống muối trắng hình nón được thu hoạch trên cánh đồng muối.

99

BÀI TẬP

10.1. Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau vào vở:

Hình	Bán kính đáy (cm)	Chiều cao (cm)	Diện tích xung quanh ($cm^2$)	Thể tích ($cm^3$)
Hình: Hình trụ đứng có bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$.	4	6	?	?
	3	5	?	?
	?	10	?	$50\pi$
	8	?	$192\pi$	?

10.2. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 3 \text{ cm}$, $BC = 4 \text{ cm}$. Quay hình chữ nhật quanh cạnh $AB$ một vòng, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ tạo thành.

10.3. Khi cho tam giác $SOA$ vuông tại $O$ quay quanh cạnh $SO$ một vòng, ta được một hình nón. Biết $OA = 8 \text{ cm}$, $SA = 17 \text{ cm}$ (H.10.14).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

Hình: Hình nón có đỉnh $S$, tâm đáy $O$, bán kính đáy $OA = 8 \text{ cm}$, đường sinh $SA = 17 \text{ cm}$, điểm $B$ đối xứng với $A$ qua $O$, góc vuông tại $O$ (H.10.14).

10.4. Một bóng đèn huỳnh quang có dạng hình trụ được đặt khít vào một hộp giấy cứng dạng hình hộp chữ nhật (H.10.15). Hộp giấy có chiều dài bằng $0{,}6 \text{ m}$, đáy là hình vuông cạnh $4 \text{ cm}$. Tính diện tích xung quanh và thể tích của bóng đèn (giả sử bề dày của hộp giấy không đáng kể).

Hình: Hộp giấy hình hộp chữ nhật dài, bên trong có bóng đèn dạng hình trụ đặt khít (H.10.15).

10.5. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ và một phần có dạng hình nón với các kích thước như Hình 10.16.

a) Tính thể tích của dụng cụ này.

b) Tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính đáy của dụng cụ).

Hình: Dụng cụ gồm phần trên là hình nón cao $50 \text{ cm}$, phần dưới là hình trụ cao $100 \text{ cm}$, đường kính đáy chung $40 \text{ cm}$ (H.10.16).

10.6. Tính thể tích của hình tạo thành khi cho hình $ABCD$ quay quanh $AD$ một vòng (H.10.17).

Hình: Trên trục thẳng đứng $AD$, từ $A$ có $AB = 4 \text{ cm}$ vuông góc sang trái; trên trục từ $A$ xuống một đoạn dài $3 \text{ cm}$ rồi xuống điểm $D$ thêm $6 \text{ cm}$; từ $D$ có $DC = 8 \text{ cm}$ vuông góc sang phải (H.10.17).

100