Bài 32 HÌNH CẦU

Khái niệm, thuật ngữ	Kiến thức, kĩ năng
Hình cầu Mặt cầu	Mô tả tâm, bán kính của hình cầu, mặt cầu. Tạo lập hình cầu, mặt cầu. Nhận biết phần chung của mặt phẳng và hình cầu. Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu. Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gần với việc tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu.

Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (Liên đoàn Bóng đá Quốc tế) có dạng hình cầu với đường kính khoảng 22 cm (H.10.18). Khi bơm căng quả bóng thì thể tích quả bóng bằng bao nhiêu?

Hình: Quả bóng đá (Hình 10.18).

1 MẶT CẦU VÀ HÌNH CẦU

Nhận biết mặt cầu và hình cầu

1. Ta đã biết quả bóng (H.10.19) có dạng hình cầu. Một số yếu tố của hình cầu được chỉ ra trên Hình 10.20.

Hình: Quả bóng rổ (Hình 10.19).

• Khi quay nửa đường tròn quanh đường kính $AB$ cố định của nó, ta được một mặt cầu.
• Khi quay nửa hình tròn quanh đường kính $AB$ cố định của nó, ta được một hình cầu.

Tâm và bán kính của nửa đường tròn (hình tròn) cũng là tâm và bán kính của mặt cầu (hình cầu).

Hình: Nửa đường tròn có đường kính $AB$, tâm $O$, quay quanh trục $AB$ để tạo mặt cầu (hình cầu); trên hình cầu ghi tâm $O$, bán kính $OM$, hai điểm $A$, $B$ (Hình 10.20).

101

? Tìm một vài hình ảnh của hình cầu, mặt cầu trong thực tế.

Một số yếu tố của mặt cầu:

• Tâm mặt cầu: $O$.
• Bán kính mặt cầu: $R = OB$.

Hình: Mặt cầu màu xanh dương, tâm $O$, vòng tròn lớn nằm ngang (đường xích đạo) với các điểm $A$, $B$ ở hai đầu đường kính; đoạn $OB$ ký hiệu $R$.

Ví dụ 1

Hãy kể tên tâm và một bán kính của mặt cầu trong Hình 10.21.

Giải

• Tâm mặt cầu: $O$.
• Một bán kính: $OP$.

Hình: Hình 10.21 — mặt cầu tâm $O$; các điểm $M$, $N$ trên đường xích đạo, điểm $P$ trên đỉnh mặt cầu; các đoạn $OM$, $ON$, $OP$ vẽ bằng nét đứt.

Luyện tập 1

Kể tên các bán kính còn lại của mặt cầu trong Hình 10.21.

Cắt mặt cầu, hình cầu bởi một mặt phẳng

HĐ1 Sọ dừa được xem là có dạng hình cầu. Người ta cắt sọ dừa khô để làm gáo dừa (H.10.22a). Em thấy miệng gáo có dạng hình gì?

HĐ2 Khi cắt đôi một quả cam có dạng hình cầu (H.10.22b), em thấy mặt cắt có dạng hình gì?

Hình: Hình 10.22 — a) gáo dừa làm từ sọ dừa; b) nửa quả cam đã cắt đôi.

102

Một cách tổng quát:

• Nếu cắt hình cầu bằng một mặt phẳng thì phần giao chung (mặt cắt) là một hình tròn.
• Nếu cắt hình cầu bán kính $R$ bằng một mặt phẳng (Hình 10.23) thì:
  • Nếu mặt phẳng đi qua tâm thì hình tròn có bán kính $R$ và được gọi là đường tròn lớn.
  • Nếu mặt phẳng không đi qua tâm thì hình tròn có bán kính nhỏ hơn $R$.

Hình: Hình 10.23 — Hình cầu; mặt phẳng đi qua tâm $O$ tạo đường tròn lớn; bán kính $OA$ ký hiệu $R$.

Ví dụ 2

Trái Đất được coi là hình cầu (Địa Cầu). Xích đạo là một đường tròn lớn có độ dài khoảng $40\,075$ km. Tính đường kính của Trái Đất, làm tròn đến hàng phần trăm (hàng phần trăm km).

Hình: Quả địa cầu có vĩ tuyến, kinh tuyến; điểm trên cùng ghi Cực Bắc; đường ngang giữa (Xích đạo) được tô đậm.

Giải

Vì Xích đạo là đường tròn lớn nên bán kính của nó bằng bán kính Trái Đất.

Gọi $R$ là bán kính Trái Đất, khi đó độ dài Xích đạo là $2R\pi \approx 40\,075$ (km).

Vậy đường kính Trái Đất là $2R \approx 40\,075 : \pi \approx 12\,756{,}27$ (km).

Luyện tập 2

Khi cắt hình cầu bằng một mặt phẳng đi qua tâm, ta được một hình tròn có diện tích $25\pi$ cm$^2$. Tính bán kính hình cầu.

2 DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU

Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

HĐ3. Quan sát thấy lượng sơn cần để phủ kín hình cầu bán kính $R$ bằng lượng sơn cần để phủ kín một hình tròn phẳng bán kính $2R$ (với độ dày lớp sơn như nhau) (Hình 10.24). Từ đó, hãy dự đoán công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R$.

Hình: Hình 10.24 — Bên trái: hình cầu màu đỏ, bán kính $R$; bên phải: hình tròn phẳng màu đỏ, bán kính $2R$.

HĐ4. Dùng một hình cầu bán kính $R$ và một cốc thủy tinh hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao $2R$. Ban đầu, đặt hình cầu sao cho vừa khít bên trong cốc đầy nước.

103

Ta nhấc hình cầu ra khỏi cốc thuỷ tinh hình trụ (H.10.25).

Hình: Hình 10.25 — bên trái: hình cầu nằm trong cốc thuỷ tinh hình trụ chứa nước, chiều cao và đường kính cốc đều ghi $2R$; mũi tên sang phải: tay nhấc hình cầu ra khỏi cốc, mực nước trong cốc hạ thấp.

Đo độ cao cột nước còn lại trong chiếc cốc, ta thấy độ cao này chỉ bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của chiếc cốc hình trụ. Từ đó, em hãy dự đoán công thức tính thể tích hình cầu bán kính $R$.

Người ta chứng minh được công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính $R$ là:

$S = 4\pi R^2$

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Ví dụ 3

Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính bằng 10 cm.

Giải

Diện tích mặt cầu là: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 10^2 = 400\pi$ ($cm^2$).

Thể tích hình cầu là: $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3}$ ($cm^3$).

Vận dụng 1

Em hãy trả lời câu hỏi của tình huống mở đầu.

Ví dụ 4

Bạn Trang có một bể cá có dạng một phần hình cầu với đường kính bằng 20 cm (H.10.26). Khi nuôi cá, Trang thường đổ vào bể lượng nước có thể tích bằng $\frac{2}{3}$ thể tích của hình cầu. Tính thể tích nước bạn Trang đã đổ vào bể cá. (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $cm^3$).

Hình: Hình 10.26 — bể cá dạng một phần hình cầu (phía trên hở), có nước và một con cá vàng.

Giải

Bán kính của hình cầu là $20 : 2 = 10$ (cm).

104

Thể tích của hình cầu là $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3}$ (cm$^3$).

Thể tích nước bạn Trang sử dụng để đổ vào bể cá là: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4000\pi}{3} = \frac{8000\pi}{9} \approx 2793 \text{ (cm}^3\text{)}.$

Vận dụng 2

Khinh khí cầu đầu tiên được phát minh bởi anh em nhà Montgolfier (người Pháp) vào năm 1782. Chuyến bay đầu tiên của hai anh em trên khinh khí cầu được thực hiện vào ngày 4 tháng 6 năm 1783 trên bầu trời Place des Cordeliers ở Annonay (nước Pháp) (theo cand.com.vn). Giả sử một khinh khí cầu có dạng hình cầu với đường kính bằng $11 \text{ m}$. Tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $\text{m}^2$).

Hình: Một chiếc khinh khí cầu đang bay.

Hình 10.27

BÀI TẬP

10.7. Thay dấu “?” bằng giá trị thích hợp và hoàn thành bảng sau vào vở:

Hình	Bán kính (cm)	Diện tích mặt cầu (cm$^2$)	Thể tích hình cầu (cm$^3$)
Hình: Sơ đồ một hình cầu có tâm O và bán kính R.	$3$	?	?
	?	$100\pi$	?
	?	?	$972\pi$

10.8. Một cốc đựng ba viên kem có dạng hình cầu, mỗi viên đều có bán kính bằng $3 \text{ cm}$. Tính thể tích của kem đựng trong cốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $\text{cm}^3$).

10.9. Một quả bóng đá có chu vi của đường tròn lớn bằng $68,5 \text{ cm}$. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích bằng $49,83 \text{ cm}^2$. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên? (Coi phần mép khâu không đáng kể).

10.10. Hằng năm cứ dịp Tết đến Xuân về, dân làng Thuý Lĩnh, phường Lĩnh Nam, Hà Nội lại tổ chức lễ hội vật cầu truyền thống. Trong lễ hội có sử dụng một quả cầu được tiện bằng gỗ, đường kính khoảng $35 \text{ cm}$, sơn đỏ mặt ngoài. Tính diện tích mặt ngoài của quả cầu gỗ nói trên.

105

LUYỆN TẬP CHUNG

Ví dụ 1

Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng 1 cm và chiều cao bằng 2 cm. Khoét đi một phần hình nón như hình vẽ H.10.28. Tính thể tích phần còn lại của hình trụ.

Hình: Hình 10.28 — Hình trụ có một phần hình nón (đáy trùng đáy trên của hình trụ, đỉnh nằm tại tâm đáy dưới) được khoét bên trong; chiều cao 2 cm, bán kính đáy 1 cm.

Giải

Thể tích hình trụ: $V_1 = \pi R^2 h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ ($\text{cm}^3$).

Thể tích phần hình nón bị khoét: $V_2 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 2 = \dfrac{2\pi}{3}$ ($\text{cm}^3$).

Thể tích phần còn lại: $V = V_1 - V_2 = 2\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ ($\text{cm}^3$).

Ví dụ 2

Một hộp đựng banh tennis hình trụ vừa khít với ba quả banh tennis xếp chồng theo chiều đứng (H.10.29). Biết các quả banh hình cầu có đường kính 6,4 cm.

a) Tính thể tích hộp (bỏ qua độ dày vỏ hộp, làm tròn đến hàng $\text{cm}^3$).

b) Tính thể tích phần trống trong hộp không bị chiếm bởi ba quả banh.

Hình: Hình 10.29 — Hình trụ trong suốt chứa ba quả banh tennis xếp chồng theo chiều đứng.

Giải

a) Chiều cao hình trụ của hộp: $h = 6{,}4 \cdot 3 = 19{,}2$ (cm).

Bán kính đáy: $R = 6{,}4 : 2 = 3{,}2$ (cm).

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot 3{,}2^2 \cdot 19{,}2 \approx 618$ ($\text{cm}^3$).

b) Bán kính một quả banh: $R' = 6{,}4 : 2 = 3{,}2$ (cm).

Thể tích ba quả banh: $V' = 3 \cdot \left(\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot R'^3\right) = 3 \cdot \left(\dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3{,}2^3\right) \approx 412$ ($\text{cm}^3$).

Thể tích phần trống: $V'' = V - V' \approx 618 - 412 = 206$ ($\text{cm}^3$).

BÀI TẬP

Bài tập 10.11. Cho một hình trụ có đường kính của đáy bằng với chiều cao và có thể tích bằng $2\pi\ \text{cm}^3$.

a) Tính chiều cao của hình trụ.

b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.

106

10.12. Một vòng bi bằng thép (phần thép giữa hai hình trụ) có hình dạng và kích thước như Hình 10.30. Tính thể tích của vòng bi đó.

Hình: Hình 10.30 mô tả một vòng bi hình trụ rỗng có chiều cao 10 cm, bán kính ngoài 7 cm và bán kính trong 5 cm.

10.13. Chiếc mũ của chú hề với các kích thước như Hình 10.31. Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm chiếc mũ (coi mép khâu không đáng kể và làm tròn kết quả đến hàng phần mười của $cm^2$).

Hình: Hình 10.31 mô tả chiếc mũ chú hề gồm phần chóp nón có đường sinh 30 cm, bán kính đáy 10 cm và phần vành mũ hình tròn có đường kính 35 cm.

10.14. Người ta nhấn chìm hoàn toàn 5 viên bi có dạng hình cầu vào một chiếc cốc hình trụ đựng đầy nước, mỗi viên bi có đường kính 2 cm. Tính lượng nước tràn ra khỏi cốc.

10.15. Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu có đường kính bằng 1,8 m và một hình trụ có chiều cao bằng 3,6 m (H.10.32). Tính thể tích của bồn chứa xăng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của $m^3$).

Hình: Hình 10.32 mô tả một bồn chứa xăng nằm ngang có phần thân hình trụ dài 3,6 m nối với hai đầu là hai nửa hình cầu có đường kính 1,8 m.

10.16. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $50 \text{ cm} \times 240 \text{ cm}$, người ta làm mặt xung quanh của các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50 cm, theo hai cách sau (H.10.33):

• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng nước hình trụ.
• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm hình chữ nhật bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu $V_1$ là thể tích của thùng gò được theo Cách 1 và $V_2$ là tổng thể tích của hai thùng gò được theo Cách 2. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ (giả sử các mối hàn là không đáng kể).

Hình: Hình 10.33 minh họa sơ đồ gò tấm tôn hình chữ nhật thành hình trụ theo hai cách: Cách 1 sử dụng nguyên tấm tôn để tạo một hình trụ lớn và Cách 2 chia đôi tấm tôn để tạo hai hình trụ nhỏ hơn.

107

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG X

A. TRẮC NGHIỆM

10.17. Hình chữ nhật $ABCD$ quay một vòng quanh cạnh $AB$ được hình trụ. Bán kính đáy của hình trụ đó là:

A. $AB$
B. $CD$
C. $AD$
D. $AC$

10.18. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 4\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$. Quay tam giác quanh cạnh $AC$ được hình nón. Chiều cao của hình nón đó là:

A. $4\text{ cm}$
B. $3\text{ cm}$
C. $5\text{ cm}$
D. $9\text{ cm}$

10.19. Diện tích mặt cầu có đường kính bằng $10\text{ cm}$ là:

A. $10\pi\text{ cm}^2$
B. $400\pi\text{ cm}^2$
C. $50\pi\text{ cm}^2$
D. $100\pi\text{ cm}^2$

10.20. Cho hình nón có bán kính đáy $R = 2\text{ cm}$, đường sinh $l = 5\text{ cm}$. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. $\dfrac{10\pi}{3}\text{ cm}^2$
B. $\dfrac{50\pi}{3}\text{ cm}^2$
C. $20\pi\text{ cm}^2$
D. $10\pi\text{ cm}^2$

10.21. Một mặt phẳng đi qua tâm cắt mặt cầu thành hình tròn có diện tích bằng $9\pi\text{ cm}^2$. Thể tích của mặt cầu đó là:

A. $972\pi\text{ cm}^3$
B. $36\pi\text{ cm}^3$
C. $6\pi\text{ cm}^3$
D. $81\pi\text{ cm}^3$

B. TỰ LUẬN

10.22. Cho hình trụ có bán kính đáy $20\text{ cm}$, chiều cao $30\text{ cm}$.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Tính thể tích của hình trụ.

10.23. Cho hình nón có bán kính đáy $9\text{ cm}$, đường sinh $15\text{ cm}$ (Hình 10.34).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của hình nón.

c) Gọi diện tích toàn phần là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Hình: Hình nón có đỉnh $S$, đáy là hình tròn đường kính $AB$ tâm $O$; $SO$ là chiều cao (nét đứt, vuông góc tại $O$); cạnh bên $SB$ ghi $15\text{ cm}$; bán kính $OB$ ghi $9\text{ cm}$ (Hình 10.34).

108

10.24. Quả bóng rổ sử dụng trong thi đấu có dạng hình cầu với đường kính bằng 24 cm (H.10.35). Hãy tính:

a) Diện tích bề mặt quả bóng.

b) Thể tích của quả bóng.

Hình: Quả bóng rổ màu cam có các đường gân đen (Hình 10.35).

10.25. Đèn trời có dạng hình trụ không có một đáy với đường kính đáy bằng 0,8 m và thân đèn cao 1 m (H.10.36). Tính diện tích giấy dán bên ngoài đèn trời (coi các mép dán không đáng kể).

Hình: Đèn trời bằng giấy đang được thả lên bầu trời đêm (Hình 10.36).

10.26. Các hình dưới đây (H.10.37) được tạo thành từ các nửa hình cầu, hình trụ và hình nón (có cùng bán kính đáy). Tính thể tích của các hình đó theo kích thước đã cho.

Hình: Ba hình ghép gồm nửa hình cầu, hình trụ và hình nón (Hình 10.37).

a) Hình trụ có nửa hình cầu ở trên; đường kính đáy $8\ \text{cm}$, chiều cao phần hình trụ $6\ \text{cm}$.

b) Hình nón nằm trên nửa hình cầu; bán kính đáy $4\ \text{cm}$, chiều cao toàn hình (từ đáy nửa cầu đến đỉnh nón) $10\ \text{cm}$.

c) Ghép nửa hình cầu ở trên, hình trụ ở giữa và hình nón hướng xuống dưới; chiều cao hình trụ $5\ \text{cm}$, chiều cao hình nón $5\ \text{cm}$, bán kính nửa hình cầu phía trên $1\ \text{cm}$.

10.27. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Tính thể tích của hình nón có đỉnh là tâm $O$ của hình vuông $ABCD$ và đáy là hình tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông $A'B'C'D'$ (H.10.38).

Hình: Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ với cạnh $a$, điểm $O$ là tâm mặt $ABCD$, hình nón có đỉnh $O$ và đáy là hình tròn tiếp xúc các cạnh mặt $A'B'C'D'$ (Hình 10.38).

109

10.28. Bạn Khôi cho một hòn đá cảnh vào một bể nuôi cá hình trụ có đường kính đáy bằng $20\ \text{cm}$ thì nước trong bể dâng lên $3\ \text{cm}$. Hỏi hòn đá cảnh đó có thể tích bằng bao nhiêu?

10.29. Một chiếc kem ốc quế gồm hai phần: Phần phía dưới dạng hình nón có chiều cao gấp đôi bán kính đáy, phần trên là nửa hình cầu có đường kính bằng đường kính đáy của hình nón phía dưới (H.10.39). Thể tích phần kem phía trên bằng $200\ \text{cm}^3$. Tính thể tích của cả chiếc kem.

Hình: Sơ đồ hình học minh họa một chiếc kem ốc quế gồm phần dưới là hình nón và phần trên là nửa hình cầu.

Hình 10.39

10.30. Mái nhà hát Cao Văn Lầu và Trung tâm triển lãm Văn hoá Nghệ thuật tỉnh Cà Mau có hình dáng ba chiếc nón lá lớn nhất Việt Nam (H.10.40). Tính diện tích một mái nhà hình nón có đường kính bằng $45\ \text{m}$ và chiều cao bằng $24\ \text{m}$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của $\text{m}^2$).

Hình: Ảnh chụp thực tế kiến trúc nhà hát Cao Văn Lầu với các mái che có hình dạng chiếc nón lá lớn.

Hình 10.40

110

HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH TRẢI NGHIỆM

Hình: Minh họa các hoạt động học tập và thực hành (người học, máy tính, lều, dụng cụ thí nghiệm, biểu tượng toán học, bộ não, bóng đèn).

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ VỚI PHẦN MỀM GEOGEBRA

Mục tiêu

Sử dụng phần mềm GeoGebra để vẽ đồ thị của hàm số, giải phương trình một ẩn và giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Khởi động phần mềm GeoGebra [có biểu tượng hình tròn với các ngôi sao xung quanh], chọn Complex Adaptive System (CAS) để thực hiện giải phương trình một ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; chọn Graphic 2 để vẽ đồ thị của hàm số.

1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Để giải phương trình nói chung, phương trình bậc hai một ẩn nói riêng, ta dùng lệnh Solve(<phương trình>) hoặc Solutions(<phương trình>) trên ô lệnh của cửa sổ CAS, kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.

Hình: Giao diện cửa sổ CAS GeoGebra với ví dụ nhập Solutions(5x^2 + 2x - 3 = 0) cho kết quả $\{-1, \frac{3}{5}\}$ và nhập Solutions(x + \frac{1}{x} = 2) cho kết quả $\{1\}$.

Nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng tập hợp. Chú ý, kí hiệu {} thể hiện phương trình vô nghiệm.

Hình: Ví dụ trên CAS với Solutions(3x^2 + 5x + 61 = 0) cho kết quả $\{\}$.

111

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solutions(x^2 - 2 (sqrt(2) + sqrt(3)) x + 4 sqrt(6) = 0) và kết quả $\{2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{3}\}$.

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solve(sqrt(5) x^2 + 2 x - sqrt(5) = 0) và kết quả $\left\{x = \dfrac{-\sqrt{30} - \sqrt{5}}{5},\ x = \dfrac{\sqrt{30} - \sqrt{5}}{5}\right\}$.

Chú ý

• Để nhập căn bậc hai của $a$ ta gõ “sqrt(a)”.
• Để nhập $x^2$ ta gõ “x^2”.

2 GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể sử dụng một trong hai phương pháp sau:

Cách 1. Sử dụng câu lệnh Solve({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>}) hoặc Solutions({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>}) trên ô lệnh của cửa sổ CAS, kết quả sẽ được hiển thị ngay bên dưới.

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solutions({3 x + 5 y = 1, 2 x - y = -8}, {x, y}) và kết quả $(-3,\ 2)$. Kết quả bên có nghĩa: hệ có nghiệm $\begin{cases} x = -3 \\ y = 2. \end{cases}$

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solutions({2 x - y = 1, 4 x - 2 y = 2}, {x, y}) và kết quả $\left(\dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2},\ y\right)$. Kết quả bên có nghĩa: hệ có nghiệm $\begin{cases} x = \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{2} \\ y \text{ tuỳ ý.} \end{cases}$

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solve({5 x + y = 4, x - y = 2}, {x, y}) và kết quả $\{\{x = 1,\ y = -1\}\}$.

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Solve({3 x - y = 1, 3 x - y = -1}, {x, y}) và kết quả $\{\}$.

Cách 2. Sử dụng lệnh Intersect(<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>) trên cửa sổ CAS để tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình tương ứng.

Hình: Cửa sổ CAS với lệnh Intersect(3 x + y = 0, x + y = 2) và kết quả $\{(-1,\ 3)\}$.

112

3 VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Khởi động GeoGebra và chọn đồng thời hai chế độ Graphic 2 và CAS để vẽ đồ thị của hàm số $y = ax^2\ (a \neq 0)$ và hàm số bậc nhất $y = ax + b\ (a \neq 0)$.

• Nhập công thức hàm số $y = ax^2$ và $y = ax + b$ vào từng ô lệnh trong cửa sổ CAS.
• Nháy chuột chọn nút ở đầu mỗi ô lệnh để vẽ đồ thị hàm số trong cửa sổ Graphic 2.

Hình: Cửa sổ CAS và Graphic 2 hiển thị cách nhập hàm số và đồ thị tương ứng.

• Sử dụng lệnh Intersect(<hàm số thứ nhất>, <hàm số thứ hai>) trên cửa sổ CAS. Toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số sẽ hiển thị bên dưới ở dạng tập hợp.

Hình: Lệnh Intersect và kết quả tọa độ các giao điểm trên cửa sổ CAS.

Chú ý. Nếu muốn sử dụng giao diện tiếng Việt, sau khi khởi động GeoGebra, chọn Options $\rightarrow$ Language $\rightarrow$ Vietnamese/Tiếng Việt. Khi đó, thay vì cú pháp lệnh tiếng Anh như trình bày ở trên, ta dùng cú pháp lệnh tiếng Việt tương ứng như trong bảng sau (lưu ý rằng cú pháp lệnh tiếng Việt có thể khác nhau tuỳ theo phiên bản GeoGebra).

Lệnh	Cú pháp lệnh tiếng Anh	Cú pháp lệnh tiếng Việt
Giải phương trình	Solve(<phương trình>), Solutions(<phương trình>)	Giai(<phương trình>), CacNghiem(<phương trình>)
Giải hệ phương trình	Solve({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>}), Solutions({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>})	Giai({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>}), CacNghiem({<phương trình thứ nhất>, <phương trình thứ hai>}, {<biến số thứ nhất>, <biến số thứ hai>})
Tìm giao điểm của hai đồ thị	Intersect (<hàm số thứ nhất>, <hàm số thứ hai>)	GiaoDiem (<hàm số thứ nhất>, <hàm số thứ hai>)

113

THỰC HÀNH

Sử dụng phần mềm GeoGebra thực hiện các yêu cầu sau:

1. Giải các phương trình sau:

a) $x^2 - 4x + 10 = 0;$

b) $x + \dfrac{9}{x - 1} = 7;$

c) $x^2 - 2(\sqrt{3} - 1)x - 2\sqrt{3} = 0;$

d) $\dfrac{x + 1}{x - 1} - \dfrac{x - 1}{x + 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1};$

2. Giải các hệ phương trình sau:

a)

undefined